点集拓扑教学方法的探索与实践

霍承刚，晋守博，马书飞

（1.宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州234000;2.禹城前油坊中学 山东 禹城 251200）

在大规模扩招形势下步入高校的大学生，有相当一部分在不同程度上存在着缺乏学习兴趣的问题，而且高校中也存在着明显的学生被动学习现象，有些学生甚至有严重的厌学情绪，逃课现象比较普遍。若要问他们为什么逃课，多数人会说这是因为所讲授的内容不能引起学生听课的兴趣。为此，有人提出学生听课的积极性全靠教师去调动，教师调动不起学生的兴趣，就不要去怪学生。[1]这种说法有一定的道理，但并非百分之百的真理。当然，造成这个问题的原因是多方面的，有主观因素，也有客观因素。“大学生学习兴趣的缺乏直接影响着高等教育教学质量的提高，高校必须多方齐下，综合治理，建立合理的激励与培养机制，充分调动大学生的学习兴趣”。[2]孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”学生能够“好之，乐之”，学习达到快乐的地步，就会轻松，就会长进。快乐和兴趣并存，建立在兴趣之上的学习，注意力最集中，接受新知识最容易，思维最活跃，最敏捷。因此，充分调动学生求知的欲望，让学生不厌不倦地投入到学习中，以达到事半功倍的效果是教学重要的目标之一。

点集拓扑既是理工科相关专业的一门基础课，也是后续课程如拓扑学、泛函分析、概率论等课程的基础。它的许多理论与方法不仅给数学的许多分支提供一种重要的理论，而且为其它学科提供研究方法和语言。点集拓扑理论性比较强，学生普遍反映概念难懂，习题难做，方法不易掌握。上述问题的存在，不但影响了学生学习的积极性，更主要的是影响了后继课程的学习，不利于人才的培养。因此，在有限的课时内，如何使学生学习起来有积极性，既掌握了理论与方法，又了解了知识的应用，组织安排好课程的教学，进行教学方法的改革十分必要，且势在必行。[3]

1 营造和谐的教学氛围

目前多数学生常常凭兴趣学习，喜欢那位老师，就认真学习那位老师教的课。所以，教师要融洽师生情感，营造民主和谐的教育教学氛围，优化师生关系。教师走进课堂必须情绪饱满，使学生望之而精神一振，端坐静盼；讲课时，要尽可能地缩小与学生之间的空间距离，走下讲台，走近学生，最大限度地和每一个学生进行心理沟通。课堂教学中，要发扬民主，信任学生，给学生提供发表不同见解的机会，引导、鼓励和督促学生表达自己的感受和体会。课外可以和学生讨论点集拓扑中的有趣现象，例如从点集拓扑的同胚角度来看面包圈和喝水的杯子实质是一样的。这样当老师把爱的阳光洒入每个学生的心田时，学生自然就会像向阳花一样向老师靠拢。因此，平等、和谐、信任的师生关系，自由、宽松、民主、融洽的课堂氛围是唤起学生学习兴趣并促其主动学习的基础，也是实现主体性参与教学的前提。

2 加强直观图形教学

在数学的教学过程中，为了解释所讲的内容或直观地表达教学内容，画草图方法，既有利于教学，又有利于学生更好地理解和掌握所讲的内容，这种教学效果是极其有效的。通过使用一些简单的图形对数学对象进行思维，就是将数学问题的各个部分，有机地与图形的相应对象建立对应，把对数学问题的思考转化为对图形对象的思考，这样的思维过程正是数学形象思维的过程，其目的就是利用图形的构造方式、功能向学生展现数学问题的实质。[4]在高等数学中为了讲解二重积分，通过先求解曲边梯形的面积再引入二重积分的概念，学生接受过程就变得顺理成章。在点集拓扑教学中也应当多结合几何意义讲解抽象概念，下面通过实例具体说明。

设X和Y是两个度量空间，f:X→Y，以及x0∈X。如果对于 f(x0)的任何一个球形邻域 B（f(x0)，ε），存在x0的某一个球形邻域 B（x0，δ），使得 f（B（x0，δ））⊂B（f（x0)，ε），则称映射在 x0点处是连续的。[5]

这一概念可以通过图1来刻画。

图1

显然，这样能有效地促进学生形象思维的形成和发展，培养并提高学生数学形象思维的能力。另外，可以结合多媒体演示抽象概念的几何意义，[6]通过直观图形可以使学生容易地理解和接受概念，从而一定程度上增加了学生的学习点集拓扑的信心，进一步对培养和激发学生学习点集拓扑的兴趣起到潜移默化的作用。

3 注重学科对比在点集拓扑教学中的应用

对比分析是点集拓扑教学中的一种重要方法。一是在这门课程中的各概念之间进行细致的对比，例如正则空间与正规空间的对比，各种紧致空间之间的对比。二是与其它课程知识点间的对比，数学分析中数列涉及到敛散性，连续性以及极限存在的条件等等，而点集拓扑中的序列也涉及到这些内容，但它们之间存在许多异同之处，教师在讲授时可以把这些知识拿来讨论对比。通过这些内容的对比讨论，可以使学生更深入理解不同学科中的知识以及它们之间异同关系。例如，在讲授连续映射时，通过组织课堂讨论、相互提问、积极思考，让学生搞清楚如何将数学分析中函数在某一点的连续概念过渡并推广到拓扑空间之间的连续映射，而且让学生深刻理解在一般拓扑空间中不能用点列的收敛来刻画聚点这一事实，进而让学生知道拓扑空间之间的连续映射不能用极限来刻画。经过讨论，学生不仅弄懂了教材上的概念、性质和定理，而且许多学生还可以经过课堂讨论再对证明思路梳理和完善，形成一套新的证明方法，对不正确的思路和误区也相应找到了其错误的根源，起到很好的教学效果。

4 完善成绩评估方法

为了提高大学生自觉学习的兴趣，有必要对成绩评估方法加以改革。许多教师采取点名方式对旷课者的成绩予以处罚，消极惩罚措施在一定条件下可以保留实施。要想从整体上提高大学生积极性，还需另辟蹊径，奖励的方法便是其一。众所周知，精神奖励与物资利益相结合是现代思想政治教育学中的一项基本原则。这里所指的奖励，主要是对那些完成作业良好，课堂发言踊跃，课外积极提出问题、解决问题的学生，可以按一定比例列入期末考试成绩，对其余学生起到鼓励示范作用。在实际教学中的基本思路是。

1.加入章节总结与章节测试；

2.引领学生展开研究性学习和创新性试验项目的研究，比如数学建模与数学小论文，具体做法是在每章节后布置一些建模试题或让学生自己结合教学寻找材料建立模型，或结合课堂教学写出一些小论文，比如可以归纳开映射的性质[7]等；

3.课堂讨论与回答问题成绩。

总体的做法是，期末成绩的比例逐渐下降到70%-80%，平时成绩逐渐上升到20%-30%，让学生真正成为学习的主人。通过一个学期的实践，证明这一改革是有效的。

1.提高了学生的学习主动性与积极性。学生在完成每一章节后，都及时地复习总结，写出单元小结；

2.课堂讨论与回答问题更加积极。因为，讨论发言与否、发言的质量都直接记入成绩，所以学生发言明显积极了，也明显地表现出更为积极地思考问题；

3.期末闭卷成绩更加理想，不及格率明显降低，优秀率有所提高。这里原因很多，但加强了平时的学习与复习应是主要原因。

在高校教学改革中，老师还采取开卷形式，论文形式，口试形式等多种方式作为学生成绩考核手段，这些尝试，我们都应积极支持，共同探索公共理论课程考核评估体系。[8]

5 结束语

教学改革是一项重要而复杂的基础工作，积极有效的推行教学改革对提高高校的教育教学质量有着极其重要的意义。针对点集拓扑课程的内容、性质和特点，在教改中，采用适当的教学方法以达到本门课程的教学目的和要求是一项具有重要意义的创新。

[1]夏大锋.关于一般师范院校点集拓扑教学内容的一点思考[J].阜阳师范学院学报，2000，17（1）：53-55.

[2]张奠宙.大学数学教育的若干新趋势[J].高等数学研究，1999，(3):2-4.

[3]刘伟忠.研究性教学中的难点与实施重点[J].中国高等教育，2006，（24）:36-37.

[4]陈翔.图像思维在高等数学教学中的作用[J].安徽电气工程职业技术学院学报，2004，9（2）:103-106.

[5]熊金城.点集拓扑讲义[M].北京：高等教育出版社，1998，55-144.

[6]郭学军，袁德有.应用型本科院校高等数学教学改革的探索与思考[J].河南教育学院学报(自然科学版)，2009，18(3）:60-62.

[7]霍承刚.对开映射的研究[J].黄山学院学报，2010，12(3):10-11.

[8]霍承刚.点集拓扑教学的几点建议 [J].德州学院学报，2011，27(7):146-147.