逼近法输入求解花键反渐开线函数

麦承贤

（上汽通用五菱汽车股份有限公司，广西 柳州 545007）

渐开线花键的齿面接触好，承载力大，能自动定心，精度高，互换性好，容易获得不同的齿侧配合间隙，在机械传动中应用广泛。在渐开线花键的设计过程中，确定基本参数、计算选定内花键齿槽宽、外花键齿厚及其公差，这些都是比较容易的事；然而在运用齿槽宽、齿厚计算渐开线花键的检验项跨棒距和棒间距M 值时，则是一个复杂的过程。按照标准选择齿侧配合间隙的，可以从标准的附表里查找到对应的M 值；但很多时候可能选用不同于标准里的齿侧配合间隙，这就需要对渐开线函数值求反函数，求出对应的角度值，再用这个角度值计算M 值。

1 渐开线函数的特性

1.1 渐开线函数

渐开线函数的公式为

式中，x为角度值，计算时应为弧度。

公式中有tan（x），而

tan（x）=sin（x）/cos（x），

作为除数cos（x）不能等于零，也就是说x 作为角度不能等于90°和270°。

作为应用在渐开线花键上，x的范围只能在角度坐标的第一象限内，即

0°≤x ＜90°

1.2 函数关系曲线图

根据前述，取角度值从0°～85°变化，渐开线函数值随角度值变化的曲线如图1所示。

图1 渐开线函数与角度的关系曲线图

从图可以看出，曲线类似于一种抛物线，它在0°～15°范围，基本贴近为0；在20°～50°范围，接近于一条斜度很小的直线；在55°～75°范围，类似一段圆弧；在80°～85°范围，又转成一条斜度很大的直线。

从机械传动引用的渐开线花键具体齿形来说，渐开线应用的角度一般在20°～50°范围，在此范围渐开线函数值类似于直线变化，函数值与角度接近于线性关系，函数值随角度的增大而增大。

1.3 反渐开线函数

渐开线函数是指知道inv x=c，求解x的值

x=inv-1（c）

这是没有直接计算公式的一个函数，不能通过计算公式直接算出。

2 通常求解反渐开线函数方法

2.1 查表法

使用查表法需要在手头上备有一份渐开线函数表。根据M 值计算过程中得到的渐开线函数值，在渐开线函数表中排列的函数值里查找，找到接近的两个数值，计算的渐开线函数值应在这两个数值之间，再用比例法计算求出对应的角度值。例如，假定计算的渐开线函数值为

inv ai=0.020 622

那么查函数表，得到两个接近的值：0.020 533、0.020 775。

表中这两个值对应的角度是：22°10′、22°15′。

亦即

invθ1=inv 22°10′=0.020 533，

invθ2=inv 22°15′=0.020 775。

按比例法，有

ai=θ1+（θ2-θ1）×（inv ai-invθ1）/（invθ2-invθ1）

代入数值，计算得

ai=22°11′51″，

对ai的值求渐开线函数，作验证，有

inv 22°11′51″=0.020 622

证明方法正确有效。

查表法求解反渐开线函数，是最普遍的传统方法，现今也还有很多人仍在采用，其求解过程比较复杂，求得的值有时会不够精确，还必需保证有渐开线函数表随时可查。

2.2 专用软件程序计算

在计算机普及使用的现今，在基础软件上编制一个专用的程序，程序可以循环计算，使用步长递增角度值变化计算对应的渐开线函数，当计算函数等于已知值时停止计算，输出显示角度值。例如，就有用Visual Basic、C++等软件编写的求解反渐开线函数的一些程序。

使用专用软件程序求解反渐开线函数，方便快速，但这种方法只能是程序编写者极其小范围的人能够采用。

3 Excel程序中逼近法输入求解反渐开线函数

随着计算机的普及，作为Office办公软件之一的Excel程序，已是应用很广了，其可以直接输入单个参数数值或者编制计算代式计算出结果。基本上每个工程技术人员都会应用Excel程序来做设计计算。逼近法输入求解反渐开线函数，就是在Excel程序应用基础上使用。

3.1 逼近法输入求解释义

逼近法输入求解，就是以inv x=c的已知函数值c 做比较对象，假定一个角度θ，给θ 初步输入一个在合理范围内的数值，计算invθ，不断地修正θ 值，使invθ 逐步接近于c 值，在一定的精度要求下，很容易得到invθ=c的成立，此时即可解得反渐开线函数x=θ。

3.2 确定角度和函数值需保证的精度

（1）角度值精度。角度数值在零件图纸上都是以度分秒来标准及要求的，1（"）换算成（°）为

1″=0.000 278°，那么，在以度表示时，保留到小数点后第5位，精度足够。

（2）函数值精度。在50°附近用两个相差0.000 01°的角度，计算渐开线函数值，如

Inv 50.123 45°=0.322 161 48

Inv 50.123 46°=0.322 161 73

另在20°附近用两个相差0.000 01°的角度，计算渐开线函数值，如

Inv 20.222 45°=0.015 424 917

Inv 20.222 46°=0.015 424 941

对比上面两段角度区间的函数值，大角度区间的函数值，从小数点后到第7位开始变化；小角度区间的函数值，从小数点后到第8位开始变化，那么将函数值保留到小数点后第8位，精度足够。

3.3 求解步骤

（1）完成文件准备。建立一个新的空白Excel文件，进行命名。如果是用Excel文件进行的渐开线花键联结设计，也可以直接使用现有的文件，在新起行开始准备。

（2）做初始表格。如图2所示，任意取7行8列表格，进行加实边框、调整列宽、合并单元格、输入描述文字。这里将表格取在B2到I8格。

图2 初始表格示意图

注意，一定要清楚表格的单元格代号，后续所说的某某格，都是以图2显示位置来说。

（3）向表格输入初始数值、计算式、取值条件。前面所说，角度保留到小数点后第5位，精度足够，所以将假定的角θ 设定为7个数字，在C3到I3格分别填入，初始建议用4、0、0、0、0、0、0，修正时方便，当然也可以用其他数字。

C4格，输入计算式

使其为实际角θ的度数。

C5格，输入invθ的计算式

=TAN（C4×3.141 59/180）-C4×3.141 59/180，计算式需要将度换算成弧度。

C6格，输入设计计算的需要求解反函数的函数值：inv a，已知的数值，假如为0.063 625 28。

C7格，输入条件取值式子

=IF（C5>C6，C5-C6，C6-C5），求invθ 与inv a的差值，用绝对值。

C8格，输入条件取值式子

=IF（C7<0.000 000 01，C4，0），判断invθ 与inv a在保留到小数点后第8位时是否已相等，若相等，显示求解的a的角度值，否则显示为0。

输入时，将C5、C6、C7格设置为小数位数9位，这样输入后，表格显示如图3所示。

图3 初始输入后表格示意图

（4）修正假定角θ的7个数字。首先，修正十位上的数字4：比较invθ 与inv a，invθ 大，将数字减小1，调整为3，再比较，已变小于了，则完成调整。

其次，修正个位上的数字0：先将数调整为5，比较invθ 与inv a，invθ 大，调整为4，还大，继续，直到调整为1后，invθ 变小于了，此时完成调整。注意，在此有可能要重新调整到为0才变为小于。

再次，修正小数点后第1位的数字0：同样，先将数调整为5，比较invθ 与inv a，invθ 小，调整为9，变大于，依次调整为8、7、6，都还是大于，最后调整为5，变为小于，此时完成调整。

注意，必须是数字刚好调小1个数值时，invθ 由大于变为小于，才算调整完成，数字正确。

依此类推，小数点后第2位到第5位的数字，按上述同样的方法修正调整。

修正调整完成后，表格显示如图4所示。

图4 修正调整数字后表格示意图

（5）求解完成。至此，采用逼近法输入求解反渐开线函数完成，C8格显示求解得出的角度值，这是一个精确的数值。

4 后续的M 值计算

对于进行渐开线花键设计来说，完成了关键的求解反渐开线函数，后续的对渐开线M 值的计算就简单了。

渐开线花键标准GB/T3478的单行册、或者机械设计手册，都有渐开线花键M 值计算公式，在同一个excel文件里求解反渐开线函数的表格之后的新起行，框出新的表格，作简单描述、输入已知数值、列入计算式，进行直接计算即可完成。

5 结束语

渐开线花键的M 值，是检验渐开线花键是否符合要求的重要数据，计算M 值的前提，是求解对应的反渐开线函数，传统的查表法比较复杂，且容易弄错；应用专业软件编程求解，使用的范围偏小难以普及。

运用excel程序为基础，逼近法输入求解反渐开线函数，适用方便，并不复杂，可以求解得到精确的角度值，它还可以跟之前的渐开线花键设计尺寸计算和之后的M 值计算连接起来，保存在同一个文件中。这种方法也算是应用专业软件编程求解方法之一，它因为excel程序的普及而容易大范围应用。

[1]GB/T 3478.1～9-2008，圆柱直齿渐开线花键（米制模数齿侧配合）[S].

[2]郭 林.渐开线齿廓跨棒距和棒间距的实用计算方法[J].天津汽车，1995，（04）：24-27.