一类带有时滞非线性系统的稳定性开关分析

左宏坤

（淮南师范学院 数学与计算科学系，安徽 淮南 232038）

一类带有时滞非线性系统的稳定性开关分析

左宏坤

（淮南师范学院 数学与计算科学系，安徽 淮南 232038）

针对一类带有时滞的非线性系统，通过对其平衡点处特征方程的分析，构造相应的李雅普诺夫函数，获得了平衡点处的稳定性开关变化的判别准则，并对开关值获取的算法进行了讨论和分析。

稳定性开关；平衡点；李雅普诺夫函数；数值解

1 引言

对于一般的非线性动力系统，我们通常是通过构造李雅普诺夫函数，来分析平衡点处的稳定性。但由于带有时滞系统的复杂性，通常的李雅普诺夫函数构造方法不是很适用，这里我们通过对其平衡点处特征方程的分析，再结合李雅普诺夫方法[1]和非线性系统的定性理论[2]，得到了一类带有时滞的非线性系统稳定性变化的判定准则，并获得了稳定性开关的算法，这里讨论的系统具体如下：

这里的n*，u*为系统（1）的平衡点，下面对方程（2）的特征根进行讨论。

2 稳定性开关的判定准则

为了便于对方程（2）特征根的讨论，将其转化为

则由稳定性理论可知道，iω（τ）是（4）的根，则 ω（τ）一定也为(7)的根,由此可以通过分析方程（7）来讨论系统（1）的稳定性,令 Ω⊂R+0，且Ω={τ│ω（τ）是（9）的正根}，

下面我们通过引入判别准则，来判断开关点处稳定性的变化。

此处 G（ω），F（ω）如前定义，当 δ±（τ）＞0 时，iω（τ*）从左至右穿过虚轴，当 δ±（τ）＜0 时，iω（τ*）从右至左穿过虚轴。

3 开关性质的进一步讨论及分析

由以上分析可知：

（1）若 τ∉Ω，则（7）无正根，即系统（1）无稳定开关。

（2）若对∀τ∈Ω，ω（τ）是（7）的正根，则由判别准则分析可知，若 δ±（τ）＞0，由稳定过渡到不稳定，若 δ±（τ）＜0，则由不稳定过渡到稳定。

Sn(τ)是连续和可微的[3]。 则 Sn(τ)的零点就确定了系统开关的分布。但Sn（τ）=0一般无解析解，则可利用数学软件进行模拟。下面给出一组具体数据分析，这里为了讨论方便，假设：

利用数学软件可得到S0（τ）=0的数值解,它们即为系统（1）的稳定性开关,再由判定准则即可分析这些开关的变化，这里所提到的理论和方法同样也可用于分析特征方程与K（τ）形式相似的非线性动力系统，特别也适用于对系统的分岔理论研究。

[1]Y.Kuang.Delay Differential Equations with Applac tions in Population Dynamics[M].Boston：Academic Press，1993

[2]J.Hale，S.M.Verduyn Lunel.Introduction to Functi onal Differential Equations[M].New York：Spring-Verlag，1993

[3]郑祖庥.泛函微分方程理论[M].合肥：安徽教育出版社，1994

[4]Wang Wendi and Tang chunlei.Dynamics of delay population model with feedback control[J].Austral.Math.Soc，2000，（41）：451－457

[5]Beretta E.，Kuang Yang.Geometric stability switch criteria in delay differential systems with delay dependentparameters[J].SIAM J.Math.，2002，（33）：1144－1165

Stability switch of a special class dynamics of delay model

ZUO Hong-kun

In this paper，analyzing characteristic roots of linear variation equations with respect to the equilibrium by using lyapunov method，stability switches are attained and a numerical test is given for illustrating the main results.

stability switch； equilibrium；lyapunov function；numerical solution

O193

A

1009-9530（2012）03-0001-03

2012-02-17

安徽省高等学校青年科研资助基金（2005jq1139）

左宏坤（1976-），男，淮南师范学院数学与计算科学系讲师，研究方向：非线性动力系统的分岔理论。