基于摄动理论的压电阻抗损伤识别分析

李 洁

（上海城兴市政工程设计有限公司，上海 200233）

0 前言

钢筋混凝土梁是土木工程结构中最常使用的一类构件，然而由于其运营过程中材料老化、超载使用、环境侵蚀、缺乏合理管理养护等原因，这类构件的性能随时间劣化严重，因此需要开发有效的检测手段诊断该类构件的损伤情况为后续的结构性能评估和管养方案的确定服务。尽管近些年来，国内外研究人员在基于动力特性的损伤识别方法方面取得了许多理论和试验进展[1,2]，但是由于土木工程结构的特殊性和复杂性，其在土木工程中的应用受到了限制，特别是在诊断结构的微损伤、弄清损伤演化规律、实现健康监测方面还存在一系列问题无法解决。其中一个关键问题是结构早期程度较小的损伤对结构动力特性的影响很小。大量的研究表明[3]，即使结构出现较大损伤，结构模态参数也可能没有明显变化，再加上噪声的影响，现有的许多方法就无法准确识别小损伤，更何况像裂缝这样的微损伤。

智能材料的发展为土木工程结构长期实时健康监测提供了新的研究方向。这些智能材料具有传感、或者传感与驱动的双重功能，能够与工程结构融合在一起组成智能健康监测系统。基于压电陶瓷（piezoelectric ceramic，简称 PZT）电 -机阻抗技术（electro-mechanical impedance，简称 EMI）以其对结构初始损伤敏感、对外界环境影响的免疫力强，实用成本低、适宜在线监测的特点得到了越来越多的关注[4-6]。PZT质量轻，对本体结构影响很小，可以粘贴在已有结构的表面或埋入新建结构的内部对结构进行监测，是“主动”的健康监测方法。基于压电阻抗的健康监测技术从提出到现在已经有上十年，其研究领域主要集中在航空和机械工程[7-11]，近年来在土木工程领域也开展了一定的研究，如Park[12]等采用阻抗法测试了几种典型的土木结构构件，Soh[13]等人开展了压电阻抗技术在混凝土材料和结构健康监测中的研究，Tseng[14]采用有限元软件研究了单个PZT粘贴混凝土梁表面识别损伤情况，并将有限元分析结果与实验结果进行对比，采取RMSD指标评价损伤情况，Giurgiutiu[15]近来还对压电片与基体结构之间力相互作用进行了有限元数值仿真研究，并将有限元分析结果与实验结果进行了对比，并且推导出PZT与梁的耦合振动的有效刚度公式，但是并没有得到损伤梁的有效刚度公式。

梁结构作为工程中经常采用的结构，在复杂的工作环境下可能会产生裂纹损伤，这些裂纹损伤对结构的正常工作是相当不利的，为了识别这些裂纹损伤，从理论上分析裂纹损伤对梁结构动力特性的影响显得十分必要。Lestari[16]根据δ函数性质，给出了受损梁结构的具体模态参数表达式，该表达式形式复杂，且普遍性不够。本文利用一阶摄动方法给出了摄动项的一般表达式，以此推导了受损简支梁固有频率和模态振型的解析表达式，然后代入PZT与梁的耦合动态刚度公式得到受损梁的阻抗值，从而得到PZT激励受损梁的电导纳信号，并与完整梁的电导纳信号进行比较，通过RMSD损伤指标分析结构损伤对电导纳信号的影响。

1 受损简支梁的模态振型

图1为一矩形截面简支梁模型，梁的长、宽、高分别为l、b、h。假定在梁的xd处有一裂纹损伤，裂纹深度为hd，宽度为△l，在损伤部分梁的截面转动惯量为：

同理，令m0=ρbh，ρ为材料密度，在梁的损伤部分，单位长度梁的质量为：

如果在梁的xd处的极小区域内发生裂纹损伤，考虑在梁的全部长度上，其截面转动惯量的函数表达式为：

式中：H（ξ）为 Heaviside函数，H（ξ）=0（ξ＜0），H（ξ）=1（ξ＞0），且 δ（ξ）=dH（ξ）/dξ，δ（ξ）为 δ函数。

根据式（4），在△l微小的情况下，梁在全部长度上的截面转动惯量可以用δ函数表示：

同理，在梁的全长上，单位长度的质量也可以表示为：

将式（5）和式（6）及弹性模量代入Euler-Bernoulli梁的自由振动方程，则受损梁的自由振动方程可表达为：

受损梁的自由振动特征值表达式为：

考虑到梁的局部微小损伤，因而ε、△l都是一个很小的量，假定损伤后结构的特征值和模态振型是损伤前的一个微小扰动，根据一阶摄动理论，损伤后的特征值和模态振型可表示为：

将式（9）和式（10）代入式（8），并按系数项展开，略去两阶以上的项，整理后可得[17]：

式（11）的解为：

式中：kp=pπ/l（p=1,2，…）为第 P 阶主振动的波数。

将式（15）代入式（12），可得：

式（17）中右端的第一项积分部分可简化为：

将式（18）代入式（17），并考虑式（13）可得：

由式（19）并考虑模态正交性可得：

由于模态振型具有正交性，即：

将式（6）和式（10）代入上式，并按系数项展开，略去两阶以上的项，整理后可得：

当p=q时，式（25）可化简为：

将式（24）代入式（26）可得：

将式（13）和式（20）代入式（9）可求得受损简支梁的特征值为：

将式（14）、式（15）、式（21）、式（27）代入式（10）可求得受损梁的模态振型为：

2 受损简支梁的阻抗模型

压电效应是Curie兄弟于1880年发现的。当对压电元件施加外力产生机械变形时，会引起内部正负电荷中心发生相对移动而产生点的极化，从而导致元件两个表面上出现符号相反的束缚电荷，且电荷密度与外力成比例。这种现象称为正压电效应。正压电效应反映了压电材料具有将机械能转变为电能的能力，检测出压电元件上的电荷变化即得知元件或元件埋入处结构的变形量。因此利用正压电效应可将压电材料制成传感元件。反之，在压电元件两个表而上通以电压，由于电场的作用，造成压电元件内部正负电荷中心产生相对位移，导致压电元件的变形，即逆压电效应。逆压电效应反映了压电材料具有将电能转换为机械能的能力。可以用于制造驱动器的，用来结构变形或者改变应力状态。

结构发生损伤时能够引起结构机械阻抗发生变化，但结构的机械阻抗难以通过直接测试得到。基于压电陶瓷的机械阻抗法就是应用压电陶瓷的力-电耦合特性，综合考虑PZT的动态特性和被测结构的阻抗信息而提出的一种实时监测方法。给粘贴在结构上的PZT施加交流电场，PZT产生机械振动（逆压电效应），结构也会随其一起变形并且对振动产生近处的动态响应。单片PZT能够激励的面积区域因结构和材料的不同而异。本体结构的机械振动又传递到压电材料中，机械振动能够使PZT产生电响应（正压电效应），表现为电阻抗的变化。由于不同程度的结构损伤会导致的电响应不同，所以可以通过分析这种电响应的变化来判断结构受损情况。其实电响应反映出来就是PZT的电阻抗，结构受到损伤会造成PZT电阻抗幅值和相角的变化。通过与结构在无损状态时PZT的电阻抗信号进行比较，可以诊断结构内部的损伤情况。

基于阻抗法的结构健康监测技术，建模时需考虑PZT的动态特征和本体结构的阻抗。采用一维模型建立PZT与本体结构之间的相互作用（见图2）。PZT通常用高强度导电胶直接粘贴在本体结构的表面，粘贴后的PZT在交变电压作用下被看成一个薄片，仅能产生纵向膨胀和收缩。

其压电方程可表示为：

式中：S1为产生的应变；T1为所受的应力（1+iη）为电场强度E3为零（或常数）时的复弹性模量，η为机械损耗因数；d31为压电应变常数；E3为所加电场强度；D3为产生的电位移（1-iδ）为应力T1为零（或常数）时的复介电常数，δ为介电损耗因数。

由式（30）和（31）得到PZT与结构耦合作用下的电导纳公式[18]：

式中：i为虚数单位；ω为所加激励的角频率；wa、ha、la分别为 PZT的宽度、厚度和长度；κ=为PZT的密度；za为PZT的机械阻抗；zs为结构的机械阻抗。

由式（32）中可以看出，对图2所示的模型，PZT耦合电导纳不仅与PZT的几何尺寸、介电常数、压电常数、杨氏模量、机械阻抗有关，与所加激励的角频率有关，还与结构的机械阻抗有关。对于已经确定的压电系统来说，PZT自身的机械阻抗又是常数，外部结构的机械阻抗值则是唯一影响第二项的参数，从而控制压电系统全部导纳的变化。因为结构健康状况的破坏造成外部结构机械阻抗的变化，则可通过压电元件的导纳反映出来，也就是说如果机械结构因松动或裂纹等损伤而引起其机械阻抗zs变化，则PZT沿z方向的耦合电导纳也会发生变化。

PZT在电场谐激励作用下对梁产生一对平衡的轴向力和弯矩，本文只考虑PZT的轴向力，即PZT对梁施加平衡的轴向力，即：

式中：H（ξ）为 Heaviside函数，H（ξ）=0（ξ＜0），H（ξ）=1（ξ＞0），且 δ（ξ）=dH（ξ）/dξ，δ（ξ）为 δ函数。梁所受的 PZT激励力

梁的轴向振动方程为：

将式（34）代入式（35）可得：

假设位移为：

式中：Xn（x）为正交模态振型；Cn为模态系数。模态振型满足自由振动方程：

对方程同时乘以Xn（x）并在整个梁长度上积分，可得：

因此：

将式（40）代入式（41）可得：

从而梁的阻抗为：

结构出现损伤前后PZT电导纳信号的差异只能定性分析出结构出现损伤，但不能给出损伤的程度。因此需要定义一个指标，并用它来衡量结构破坏的程度。在结构健康监测中所采用的结构健康定量判定方法有很多，包括差值平均法、差方均法、均方根差值法等，基本上都是将结构完好无损情况下的阻抗-频率信息作为基线，然后将结构受损情况下的阻抗-频率信息与这个基线做定量比较，得出结构健康判定结果。由于前两种方法都要求结构受损进行测量时所采用的频率范围、频率点等参数一样，而且没有对原结构阻抗进行对比分析。为了更精确地分析结构的损伤情况，这里引入阻抗均方根差值（CC）来客观地反应损伤前后阻抗的变化：

式中：σM1和σM0分别为损伤和无损状态时的导纳的标准差；Cov（M1，M0）为 M1和 M0的协方差。

将式（29）代入式（43）即可求得受损简支梁的阻抗，然后代入式（32）即可求得PZT与简支梁的耦合电导纳信号，并与完整梁的耦合电导纳信号进行比较，并通过CC损伤指标识别损伤程度和位置。

3 数值算例

现以一个简支梁结构作为数值算例来研究损伤对PZT电导纳信号的影响，其结构模型如图1所示。PZT和梁的参数见表1和表2所列，PZT的激励频率为0～3 kHz。图3和图4为PZT位于梁的0.6 L处时的损伤深度ε=0.3、损伤位置xd=0.4的PZT和梁的耦合电导纳信号的实部和虚部。图5为局部放大后的导纳信号的实部。图6为PZT位于梁的0.6 L处时随着损伤深度ε变化而变化的PZT和梁的耦合信号的损伤指标，图7为随着损伤深度ε变化和损伤位置变化而变化的信号的损伤指标。

表1 PZT的机电和几何特性一览表

表2 梁的材料特性一览表

从图3～图5可以看出，梁出现微小裂纹时，PZT的电导纳信号也随之发生变化。从图6、图7可以看出，当梁的损伤位置相同时，PZT的CC损伤指标随着损伤程度的增加有减小的趋势。因此可以根据PZT对梁激励产生电导纳信号获得的损伤指标识别损伤的程度。

图8为PZT分别位于梁的 0.2L、0.5L、0.8L处对梁激励产生导纳损伤指标，损伤深度为ε=0.3，损伤位置分别为xd=0.1、xd=0.5、xd=0.9。从图8可以看出随着PZT距离损伤位置的逐步增大，损伤指标逐步减小。因此可以采取多个PZT对梁激励产生电导纳信号，根据损伤指标获得损伤的大致位置。

4 结论

本文利用一阶摄动方法给出了摄动项的一般表达式，推导了受损简支梁的模态振型公式，并以此得到了受损简支梁的阻抗计算公式，利用压电阻抗方法得到了受损简支梁的电导纳信号公式。从计算公式可知PZT与简支梁耦合作用下的电导纳信号的变化量与损伤尺寸有直接的关系，从而定性和定量识别结构的损伤程度和位置。

从数值算例得到的结果可以明显地看出，当梁的损伤位置相同时，PZT的CC损伤指标随着损伤程度的增加有减小的趋势，因此可以根据PZT对梁激励产生电导纳信号获得的损伤指标识别损伤的程度。当梁的损伤程度一定时，随着PZT距离损伤位置的逐步增大，损伤指标逐步减小，可以大致识别损伤的位置。

[1]李宏男,高东伟,伊廷华.土木工程结构健康监测系统的研究状况与进展[J].力学进展，2008,38(02):151-166.

[2]杨智春,于哲峰.结构健康监测中的损伤检测技术研究进展[J].力学进展，2004,34(02):215-223.

[3]Hera Adriana,Hou Zhikun.Application of wavelet approach for ASCE structural health monitoringbenchmark studies[J].Journal of Engineering Mechanics.2004,130(1):96-104.

[4]Park G,Sohn H,Farrar C R,et al.Overview of piezoelectric impedance-based health monitoring and path forward[J].Shock and Vibration Digest.2003,35(6):451-463.

[5]焦莉,李宏男.PZT的EMI技术在土木工程健康监测中的研究进展[J].防灾减灾工程学报，2006,26(01):102-108.

[6]朱宏平,王丹生,张俊兵.基于压电阻抗技术的结构损伤识别基本理论及其应用[J].工程力学，2008，(S2).

[7]Giurgiutiu V.,Zagrai A.,Jingjing Bao.Embedded active sensors for in-situ structural health monitoring of thin-wall structures[J].Transactions of the ASME.Journal of Pressure Vessel Technology.2002,124(3):293-302.

[8]Giurgiutiu V,Redmond J M,Roach D P,et al.Active sensors for health monitoring of aging aerospace structures[C].USA:SPIE-Int.Soc.Opt.Eng,2000,3985:294-305.

[9]Lalande F,Rogers CA,Childs B W,et al.High-frequency impedance analysis for NDE of complex precision parts[C].SPIE,1996,2717:237-243.

[10]Chaudhry ZA,Chaudh TJ,Sun FP,etal.Local-areahealthmonitoring of aircraft via piezoelectric actuator/sensor patches[C].SPIE,1995,2443:268-276.

[11]Zagrai A.N.,Giurgiutiu V.Electro-mechanical impedance method for crack detection in thin plates[J].Journal of Intelligent Material Systems and Structures.2002,12(10):709-718.

[12]Park Gyuhae,Cudney Harley H.,Inman Daniel J.Impedance-based health monitoring of civil structural components[J].Journal of Infrastructure Systems.2000,6(4):153-160.

[13]Soh CK,Tseng KK,Bhalla S,et al.Performanceof smartpiezoceramic patches in health monitoring of a RC bridge[J].Smart Materials and Structures.2000,9(4):533-542.

[14]Tseng K K,Wang L.Smart piezoelectric transducersfor in situ health monitoring of concrete[J].Smart Materials and Structures.2004,13(5):1017-1024.

[15]Weiping Liu,Giurgiutiu V.Finite element modeling and simulation of piezoelectric wafer active sensors interaction with the host structure for structural health monitoring[C].USA:SPIE-The International Society for Optical Engineering,2006,6174:61742-1.

[16]LestariW.Damageofcompositestructures:Detectiontechnique,dynamic response and residual strength[D]:[Ph.D.Dissertation].United States--Georgia:Georgia Institute of Technology,2001.

[17]Suhuan Chen.Matrix Perturbation Theory in Structural Dynamic Design[M].Beijing:Science Press,2007.

[18]Liang C.,Sun F.P.,Rogers C.A.Coupled electro-mechanical analysis of adaptive material systems-determination of the actuator power consumption and system energy transfer[J].Journal of Intelligent Material Systems and Structures.1994,5(1):12-20.