含表面裂纹板的概率断裂力学分析

赵 磊　李曰兵　雷月葆　高增梁

（浙江工业大学化工过程机械设计研究所　杭州 310014）

含表面裂纹板的概率断裂力学分析

赵 磊李曰兵雷月葆高增梁

（浙江工业大学化工过程机械设计研究所杭州 310014）

压力容器等大型结构的安全性与初始裂纹的位置及尺寸、材料性能参数等不确定因素有关。概率断裂力学方法将不确定性参量作为随机变量处理，可较好地减小不确定因素对结构完整性评定的影响。本文对含表面半椭圆形裂纹平板进行了拉弯组合载荷作用下的概率断裂力学分析，估算了含表面半椭圆形裂纹平板在拉弯联合加载下裂纹尖端的应力强度因子及J积分值。失效准则考虑了基于线弹性的断裂韧性KIc准则及基于弹塑性的裂纹阻力JIc准则，将裂纹深度、材料性能等参数作为随机变量，采用Monte-Carlo方法计算了不同拉弯组合载荷作用下裂纹板的失效概率，对比分析了不同失效准则及不同拉弯组合系数下裂纹板的失效概率。

概率断裂力学，Monte-Carlo方法，表面裂纹，断裂，联合加载

压力容器、油气管道等的工作环境多为高温高压等极端环境，极易发生因裂纹类缺陷启裂后扩展或失稳而导致的断裂失效事故，破坏性极大。国内外多采用确定性断裂力学评定方法对含缺陷结构进行失效评定，将所涉及的不确定因素归结为安全系数。这种方法往往使得评定结果在参数分散程度小时偏于保守，而在参数分散程度大时又偏于危险。帅健等[1]应用R6评定规范对某油气管道进行确定性失效评定，发现一般情况下其评定结果是偏于保守的，但对于某些情况却又会得到相反的偏危险的评定结果。

概率断裂力学(PFM)方法综合考虑了各种不确定性因素，大量学者对其进行了研究以期应用于压力容器的缺陷评定。Gates[2]进行了基于R6弹塑性概率断裂力学分析，描述了确定最大载荷位置的方法。Rahman[3,4]基于断裂力学J积分理论，采用一次二阶矩法和Monte-Carlo法计算了拉伸载荷作用下双边裂纹平板及弯曲载荷作用下环向穿透裂纹管道的失效概率。Sandvik等[5]建立了含外表面裂纹的承受弯矩的含环向焊缝管道的可靠性评估模型。Nikbin等[6]用含轴向裂纹的压力管道进行试验，将用于分析的所有参数均看作服从对数正态分布，用Monte-Carlo模拟法预测压力管道的断裂行为。

目前，PFM分析工作多集中于对纯拉伸或纯弯曲等单一载荷作用下的模型进行研究，而对于拉弯组合作用下的模型研究尚少。在确定性断裂力学分析基础上，本文对含半椭圆形表面裂纹平板在拉弯组合载荷作用下进行了PFM分析；估算了含表面半椭圆形裂纹平板在拉弯组合载荷作用下裂纹尖端的应力强度因子及J积分值。失效准则考虑了基于线弹性的断裂韧性KIc准则及基于弹塑性的裂纹阻力JIc准则。将裂纹深度、材料性能等参数作为随机变量，采用Monte-Carlo方法计算了不同拉弯组合载荷作用下裂纹板的失效概率，对比分析了不同失效准则及不同拉弯组合系数下裂纹板的失效概率。

1　理论分析

1.1分析对象

本文研究对象为含深为a、长为c2的半椭圆形表面裂纹的平板，其几何模型如图1所示。图中，W为板的半宽，L为板的半长，t为板沿裂纹深度方向的有效厚度。

材料模型服从Ramberg-Osgood应力-应变本构关系，即满足：

其中，α、n为材料参数，σ0是结构的屈服强度，并定义ε0= σ0/ E。

平板承受拉伸载荷N与弯曲载荷M组合作用，定义参数λ为模型的载荷比：

式中，σb= 3M / Wt2, σm= N/(2Wt)。

图1　含半椭圆形表面裂纹平板承受拉弯组合载荷作用的模型示意图Fig.1　Illustration of a semi-elliptical surface crack in a plateunder combined tension and bending.

1.2应力强度因子K

本文通过EPRI[7]方法提供的修正系数法估算拉弯组合加载下的应力强度因子。首先，利用EPRI方法提供的修正系数法分别估算平板在纯拉伸及纯弯曲载荷单独作用下的应力强度因子值Kt及Kb，定义纯拉伸及纯弯曲单独作用下的无因次应力强度因子系数分别为：

拉弯组合作用下的应力强度因子为[8]：

其中，f为拉弯组合加载下的无因次应力强度因子系数：

1.3基于参考应力法的J积分估算

参考应力概念早年被用于研究材料在高温条件下的蠕变变形，后来Ainsworth[9]将此概念推广到断裂力学领域，与弹塑性断裂参量J积分联系起来，使之成为工程J积分估算的强有力工具。参考应力法将弹塑性J积分与弹性J积分Je及材料的应力-应变特性联系起来，可用下式表示：

式中，εref是参考应力σref通过式(1)计算所得的应变。参考应力定义为：

式中，Lr是度量载荷接近结构塑性失稳极限载荷的参数，定义如下：

本文通过文献[10,11]基于整体极限载荷方法求得rL的值，推导如下：

其中，),/,/,/(λWctacaFLcom为平板拉弯组合加载下的无因次极限载荷。

联合(8)式及(9)式即有：

Je可由应力强度因子K通过下式计算：

由上可见，只要材料的应力应变关系、结构的极限载荷和应力强度因子一定，即可估算结构的弹塑性断裂参数J积分，避免复杂的有限元计算。

1.4失效准则

基于断裂力学的失效分析主要有基于线弹性分析的裂纹启裂分析以及基于弹塑性分析的裂纹扩展分析，而裂纹扩展分析需要复杂的有限元计算，难以表征。本文考虑了基于线弹性的断裂韧性KIc准则及基于弹塑性的裂纹阻力JIc准则。线弹性分析以材料断裂韧性KIc为判据，即当KI＞KIc时裂纹启裂，结构失效。弹塑性分析以裂纹阻力JIc为判据，即当J >JIc时裂纹启裂，结构失效。

失效概率定义如下：

其中，fΧ(Χ)为随机变量X的联合概率密度函数，g( Χ)为极限状态函数，其定义为：基于线弹性断裂力学分析时，g( Χ)=KIc(Χ)-K( Χ)；基于弹塑性断裂力学分析时，g( Χ)=JIc(Χ)-J( Χ)。

2　程序开发及验证

基于Monte-Carlo数值模拟方法编制了含缺陷结构的失效概率计算程序，采用不同失效准则，计算含表面半椭圆形裂纹平板在不同拉弯组合系数作用下的失效概率。

为验证程序的可靠性，计算了文献[4]中含三维环向穿透裂纹(TWC)管道试样在受弯曲载荷M作用下的失效概率，试样材料为TP304，管中径Rm=355.6 mm，管壁厚t=25.4 mm，无因次裂纹角θ / π =0.125，屈服强度σ0=154.78 MPa，泊松比ν=0.3，其随机变量参数如表1所示。

表1　TWC管道试样的随机变量参数Table 1　The uncertainties of TWC pipe specimen.

用本程序计算试样的失效概率，结果与文献[4]吻合较好(如图2)，表明本程序计算结果可靠。

图2　TWC试样在弯曲载荷下的失效概率Fig.2　Probability of failure for TWC pipe specimen by this program and Rahman[4].

3　案例分析及讨论

本文所分析模型中几何形状参数均假定为2W=400 mm，2L=800 mm，t=40 mm，裂纹形状参数假定为a/c=0.6。其他相关参数的均值、变异系数(COV)及服从的分布如表2所示。裂纹尖端断裂力学参数由最深点获得，即/2φ=π。

表2　拉弯组合作用下含半椭圆形表面裂纹平板模型参数Table 2　Model parameters of semi-elliptical surface crack in a plate under combined tension and bending.

图3　本文估算的应力强度因子(a)及J积分(b)与Lei有限元计算值的对比Fig.3　Comparison of stress intensity factor(a) and J-integral(b) between present work and Lei equation.

为确保程序中所估算的断裂力学参数是可靠的，首先对其进行了标定。图3为本程序估算的应力强度因子及J积分与Lei[8]有限元解的差异。由图可见，除a/t=0.8外，其他裂纹深度下两者基本吻合。当a/t=0.8时，可能由于裂纹最深处处于压应力区，程序低估了裂纹尖端的断裂力学参数。

图4比较了3种载荷水平下，不同失效准则下的失效概率。在同一失效准则下，失效概率均随载荷水平rL增大，且不依赖于载荷比λ的变化。同一载荷水平下，基于裂纹阻力JIc准则的失效概率大于断裂韧性KIc准则的失效概率。这是由于在采用启裂失效准则的前提下，当载荷增大时，与线弹性应力强度因子K相比，弹塑性J积分的塑性部分JP提高，而平板的韧性保持不变，使得裂纹阻力JIc准则失效概率增大。

裂纹相对深度a/t是影响失效概率的关键参数，图5为不同裂纹深度下基于裂纹阻力JIc准则的失效概率。从图中可以看出，当a/t=0.3时，失效概率最高。当a/t<0.3，失效概率随a/t增大，当a/t>0.3，受裂纹尖端压应力区的影响，失效概率随a/t的增大反而逐渐减小。

图4　不同失效准则下失效概率的比较Fig.4　Comparison of the probability of failure between different failure criteria.

图5　裂纹相对深度a/t对失效概率的影响Fig.5　Comparison of the probability of failure under different a/t.

4　结语

以含半椭圆形表面裂纹平板为对象，估算了拉弯组合加载下裂纹尖端的应力强度因子K及J积分值，进而开展了概率断裂力学分析，并编制了相关的计算程序，得到了不同失效准则、不同载荷比及不同裂纹深度下的失效概率。在同一失效准则下，失效概率均随载荷水平rL增大，且不依赖于载荷比λ的变化。同一载荷水平rL下，基于裂纹阻力JIc准则的失效概率大于断裂韧性KIc准则的失效概率。

1 帅健, 许葵. 含裂纹管道的失效评定曲线的实例验证[J]. 机械强度, 2003, 3(25): 251–253 SHUAI Jian, XU Kui. Validation of failure assessment curve of line pipe containing cracks[J]. Journal of Mechanical Strength, 2003, 3(25): 251–253

2 Gates R S. Probability elastic-plastic fracture mechanics analysis based on the R6 methodology[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 1985, 18(1): 1–34

3 Rahman S. Probabilistic fracture analysis of cracked pipes with circumferential flaws[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 1997, 70(3): 223–236

4 Rahman S, Kim J S. Probabilistic fracture mechanics for nonlinear structures[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2001, 78(4): 261–269

5 Sandvik A, Φstby E, Thaulow C. Probabilistic fracture assessment of surface cracked pipes using strain-based approach[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2006, 73(11): 1491–1509

6 Nikbin K M, Yatomi M, Wasmer K, et al. Probabilistic analysis of creep crack initiation and growth in pipe components[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2003, 80(7–8): 585–595

7 中国航空研究院主编. 应力强度因子手册[M]. 北京:科学出版社, 1981: 376–381 Aeronautics Institute of China. Handbook of stress intensity factors[M]. Beijing: Science Press, 1981: 376–381

8 Lei Y. J-integral and limit load analysis of semi-elliptical surface cracks in plates under combined tension and bending[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2004, 18(1): 43–56

9 Anisworth R A. The assessment of defects in structures of strain hardening material[J]. Engineering Fracture Mechanics, 1984, 19(4): 633–642

10 Goodall I W, Webster G A. Theoretical determination of reference stress for partially penetrating flaws in plates[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2001, 78(10): 31–41

11 Lei Y. J-integral and limit load analysis of semi-elliptical surface cracks in plates under bending[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2004, 18(1): 31–41

Probability fracture mechanics analysis of plates with surface cracks

ZHAO LeiLI YuebingLEI YuebaoGAO Zengliang
(Institute of Process Equipment & Control Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

Background: The uncertainties of input parameters in an deterministic structural integrity assessment of pressure vessels may affect the assessment results. This can be improved by performing probability facture mechanics (PFM) analysis. Purpose: This work investigates the effect of uncertainties of load, defect size, fracture toughness and failure criteria on the failure probability of semi-elliptical surface cracks in plates under combined tension and bending. Methods: The correction factor method provided by EPRI is used to estimate the stress intensity factor (SIF). The J-integral values at the deepest point of the surface crack tip are evaluated using the reference stress method and the globe limit load solution developed by Goodall & Webster and Lei. PFM analysis is performed with considering the uncertainty of crack size, yield strength and fracture toughness and Monte-Carlo (MC) simulation is used to calculate the failure probability. Results: Failure probability increases with increase of load level, Lr, for all load ratio values considered in this work for a given failure criterion. However, the failure probability based on the elastic-plastic fracture criterion is higher than that based on the linear elastic fracture criterion for a given load lever, Lr. Conclusions: The load level and the failure criteria have significant effect on the failure probability. However, the load ratio makes a little contribution to the failure probability for a given failure criterion.

Probabilistic fracture mechanics, Monte-Carlo simulation, Surface crack, Fracture, Combined loading

TQ051

10.11889/j.0253-3219.2013.hjs.36.040634

“十二五”国家科技支撑计划项目(2011BAK06B02-03)资助

赵磊，男，1987年出生， 2010年毕业于太原科技大学，目前为浙江工业大学在读硕士研究生，从事结构完整性研究

高增梁，zlgao@zjut.edu.cn

2012-10-31，

2013-03-05

CLCTQ051