一类非线性四阶差分方程边值问题正解的存在性准则

刘 览， 胡 宏

(徐州工程学院数学与物理科学学院 江苏徐州221008)

0 引言

差分方程不仅可以作为研究微分方程离散化的基本形式，还可以描述经济学、人口动力学中的实用模型．因此，非线性差分方程的研究备受关注［1－4］．近年来，对两端简单支撑的非线性四阶差分方程边值问题

解的存在性的研究取得了丰富的成果［5－8］．然而，对于如下四阶差分方程边值问题

正解的存在性研究却相对较少，其中，T2={2，3，…，T}，f:T2×R→R连续且T＞4，λ＞0为参数．众所周知，两端固定支撑的弹性梁方程

在工程中有着重要的应用，对于问题(2)正解的存在性与多解性已有很多研究［9－15］．值得注意的是问题(1)可以看作问题(2)的离散形式，研究问题(1)正解的存在性有助于求解(2)的数值解．同时，问题(1)也可以看作工程中两端固定支撑弹性梁的离散模型，文中获得问题(1)正解存在性的参数区间是最优的，这有助于解决实际问题中的数据选取，同时也对差分方程边值问题正解的存在性提供了一种研究方法．

1 主要结果

下面给出主要结果．

为了方便，引进一些记号:

定理1 假定f:T2×R→［0，∞)连续，令

(i)若0≤f∞≤f0≤+∞，则对任意的，问题(1)至少存在一个正解;

(ii)若0≤f0≤f∞≤ +∞，则对任意的)，问题(1)至少存在一个正解，

其中，λ1为线性特征值问题

的第一个正的特征值．

注1 定理1中给出问题(1)正解存在的参数区间

是最优的．例如考虑如下边值问题

事实上，假设u为问题(4)的一个正解，则(4)两边同乘以φ，并从t=2到t=T求和，可得

由f的定义可知，

2 预备知识及主要工具

令 T1={0，1，…，T+1，T+2}，定义空间

引理1 令h:T2→R．则边值问题

存在解

又因 u(T+2)=Δu(T+1)=0，故有证明 通过简单的和分运算，结合u(0)=Δu(0)=0，易得

从而(5)成立．

通过计算，不难证明格林函数G(t，s)满足如下性质:

其中，

G(t，s)≥σΦ(s)，对任意的 s∈T1，t∈T2．

定义E中的锥P如下:

易证问题(1)等价于和分方程

其中，G(t，s)如(6)式定义．问题(1)的正解是指存在一对(λ，μ)满足 λ ＞0，u(t)＞0，t∈T2且满足问题(1)．

定义算子L，f:E→E如下:

则A=Lf．

引理2A(P)⊂P且A:P→P全连续．

证明 对任意给定的u∈P，有故A(P)⊂P．因E为有限维空间，结合f的连续性，从而可证A:P→P全连续．

根据引理可知，u={u(t)}Tt=+02是问题(1)的一个解，当且仅当u={u(t)}Tt=+02∈E为算子λA的一个不动点．下面考虑线性特征值问题(3)的谱．显然，(3)等价于算子方程u=λLu．

引理3 算子L的谱半径r(L)＞0，且存在φ∈E满足φ(t)＞0，t∈T2，使得 Lφ=r(L)φ且进一步，λ1=为线性特征值问题(3)的第一个正的特征值，且

证明 定义锥P0={u∈E y(t)≥0，t∈T1}，则P0为一个内部非空的正则锥．从而E=P0－P0，即P0为E 中的完全锥．因 G(t，s)＞0，(t，s)∈T2×T2，故存在 t0∈T2使得 G(t0，t0)＞0，取 u∈E 使得 u(t)≥0，t∈T1，u(t0)＞0 且 u(t)=0，t∉T2，则对任意的 t∈T2，有

从而存在常数c＞0，使得对任意的t∈T1，有c(Lu)(t)≥u(t)．根据Krein-Rutman定理［16］得，谱半径r(L)＞0 且 φ0∈E 满足 φ0(t)＞0，t∈T2，使得 Lφ0=r(L)φ0．

注意到，Lφ=r(L)φ等价于下面边值问题

对任意的x，y∈E，通过计算可得

令Lu为下列边值问题的唯一解

则

故(7)成立，引理得证．

作者所使用的主要工具:

引理4［16］令E为Banach空间，P⊂E为E中的一个锥，Ω为E中的有界开集．假设A:P∩Ω－→P全连续．若存在 x0∈P{θ}，使得对任意的 x∈P∩∂Ω，μ≥0，有 x－Ax≠μx0成立，则 i(A，P∩Ω，P)=0．

引理5［16］令E为Banach空间，P⊂E为E中的一个锥，Ω为E中的有界开集．假设A:P∩Ω－→P全连续．若对任意的 x∈P∩∂Ω 且 μ≥1，有 Ax≠μx，则 i(A，P∩Ω，P)=1．

3 主要结果的证明

假设λA在P∩∂Br1中无不动点，若不然，(i)已证．下面证明

其中，φ由引理3定义．

反设存在 u0∈P∩∂Br1且 μ0≥0，使得 u0=λAu0+μ0φ 成立．易见，μ0≥μ0φ．

故

这与μ*的定义矛盾，从而(8)成立．根据引理4可得

定义和f(t，u)的连续性知，存在σ∈(0，1)和常数C＞0，使得

下证W为E中的有界集．

对任意的 u∈W，存在 μ∈［0，1］，使得 u=μλAu．由(10)知，u= μλAu≤λ1σLu+λCLv0，其中，v0(t)≡1，t∈T2．故(I－K)u≤CLv0，其中，K=λ1σL，I为恒同算子．因为 r(K)=λ1σr(L)＜1，所以逆算子(I－K)－1存在且可展为(I－K)－1=I+K+K2+…．结合 K(P)⊂P 可得，(I－K)－1(P)⊂P，从而u≤(I－K)－1CLv0．故 W为有界集．从而存在，使得 u≠μλAu，∀u∈P∩BR1，μ∈［0，1］．

由引理5知，

因此，由(9)和(11)，结合不动点指数的可加性知，

从而A在P∩(Br2)中存在一个不动点，即问题(1)至少存在一个正解．

下面证明

反设存在 u0∈［0，1］且 u0∈P∩∂Br2，使得 u0= μ0λAu0，则

从而λ1(1－ε)Lu0≥u0，给此不等式两边同时乘以φ，然后从t=2到t=T求和，结合(7)可得

对上面不等式两边同乘以φ，然后从t=2到t=T求和，结合引理4可得

选取R2＞max{suup‖u‖，r2}，使得

∈Ω

结合引理4，可得

由(13)和(14)，结合不动点指数的可加性知，

根据不动点指数理论知，A在P∩(BR2)中至少存在一个不动点，即问题(1)至少存在一个正解．

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