空间向量教学中渗透数学思想方法的点滴思考

陈先睿

【摘 要】在新课改的前提下，通过一段时间的具体教学实践，我们发 现，学生对空间向量与立体几何的内容把握不尽人意.学生对这部分内容没有更加深刻的理解，导致学习中困难较大.为了改变这种现状，我们在教学中呼吁关注数学的本原，关注学生对数学的认知源泉，就是数学的思想方法.只有学生学会用数学思想方法来学习数学，才能从根源上解决数学学习的盲区，才能触动到数学的灵魂.本文通过对本章知识中蕴涵的数学思想方法的分析，以抛砖引玉带动我们关注数学思想方法在教学中的渗透。

【关键词】思想方法；空间向量；问题解决

在新教材选修2-1的第三章空间向量与立体几何的教学中，我们发现学生对知识的掌握没有想象的好.由此我进行了反思，在教学中我加入了一些对数学思想方法的专题辅导，从而有效的提升了学生对这部分知识的理解和掌握。具体而言，有以下的几个方面的归纳：

一、方程的思想

方程思想是最基本的，也是最重要的数学思想方法之一。它从对问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。[1]

问题1.设，是空间两个不共线的向量，

已知

且A，B，D三点共线，求实数k的值。

解：∵A，B，D三点共线，∴可设，

又∵

∴

∴

注：这里所说的方程思想与我们常见的列方程（组）不同，我们要把一些看上去似乎与方程不发生明显联系的数学问题，运用方程的思想而巧妙地使问题获解。

问题2. （09年宁夏、海南理科改编）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.若SD⊥平面PAC，问侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。[2]

分析：由题意知这是一个正四棱锥，可取底面中心为坐标原点，通过建坐标系，设出底面边长，得到相关各点坐标，利用空间向量构造方程求解。

解：连接BD，设AC交BD于O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示。

设底面边长为，则OD=OC=OB=，SO=，

∴S（0，0，），B（，0，0），D（-，0，0），

C（0，，0），则=（-，，0），

=（，0，），=（0，-，）.

假设在侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，

∵是平面PAC的一个法向量，设，则

又∵，∴

即当SE：EC=2：1时，，又BE￠平面PAC.

∴侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC.

注：这类问题实质上就是利用向量坐标运算建立所求坐标的方程，若方程有解，则点存在；否则，点不存在。

二、转化和化规思想

转化和化规思想，简单的说就是将复杂的问题转化成简单的问题，将未解决的问题转化成已解决的问题。

问题3.如下图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，

∠ACD=90，沿着它的对角线AC将折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D的距离。[2]

分析；求B，D间的距离可以转化为求向量的模，但向量的模无法直接求出，可以转化为其他向量，注意折起后AB与AC，CD与AC的垂直关系没有发生改变，可以充分利用这种关系。

解：∵∠ACD=90°，∴.同理.又∵AB与CD成60°角，或。

又∵，

∴当时，此时B，D间的距离为2；

当时，此时B，D间的距离为；

注意：此题在求BD的距离就是求，利用向量表示该向量时，要注意异面直线AB，CD的夹角为60°，而得夹角却有60°或120°两种可能。当然，如果能结合数形结合思想那么更能考虑更加全面。可见，此题通过利用向量达到了化繁为简的效果。

问题4.已知正方体.

求证：平面∥平面

分析：在利用空间向量证明面面平行有两种方法：

一是将面面平行转化为相应的线面平行、线线平行来证明；二是求出两平面的法向量，通过证明两平面的法向量平行得证；也可将向量法和综合法结合，从而避免了求平面法向量的繁杂计算。此题可分别求出平面和平面的法向量，证明两个法向量平行即可。

解：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0，0），B（1，1，1），D（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，1）.设平面的法向量为。

∵，

∴，令，

可得平面的一个法向量为；

设平面的法向量为，

∵，

∴，令，

可得平面的一个法向量为；

∵，∴∥，∴平面∥平面。

注：法向量在空间立体几何中的应用是十分重要的。由于法向量的引入，使得在空间立体几何中，处理线线、线面、面面的平行和垂直问题以及一些距离问题时，许多复杂的传统方法可以不必使用或减少使用，实现几何问题代数化处理，充分体现了转化和化规思想。

三、数形结合思想

数形结合的思想，主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。数与形是数学中的两个最古老的，也是最基本的问题，它们在一定的条件下可以相互转化[1]。由于许多代数问题、三角问题，往往潜在着一定的几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系几何直观化，以便于探求解题思路或找到问题的结论。

问题5.如图所示，在空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线都为1，M，N分别为AB，AD的中点，求.[2]

解：

注：有的同学是这样解的：

导致这样的错解，是由于没有正确理解向量的夹角或没有认真观察图形，误认为是的夹角，事实上的夹角为的补角。此题体现了“以形助数”的效果！

问题6.如图所示，在正方体中，E在上，且，F在对角线上，且.求证：E，F，B三点共线。

分析：要想证明三点E，F，B共线，要想直接给出这种几何关系并不容易，在向量中需要证明这三点中任意两点构成的两个向量有线性代数关系，如与。因此，可利用空间向量基本定理，选择合适的基向量，先从量上表示和，在考察几何性质，来使问题得以解决，从而达到“以数辅形”的效果。

证明：设，，.

，，

又

又

.所以E，F，B三点共线。

四、函数思想

函数思想是最重要、最基本的数学思想方法之一。它是指运用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

问题7.已知并且实数t满足关于x的方程有实数根，当取最小值时，求t的值。[2]

分析：这里表面上看是向量问题，但是，实质上应该是函数问题。由向量模的定义，建立关于t的函数关系，t的范围需由关于x的方程有实数根即判别式不小于0得到。

解：∵关于x的方程有实数根，

又

∵当时，关于t的函数为单调递增，

∴当时，取最小值，的最小值为。

注：在数学中有一些本身无明显的函数关系的问题，我们要通过类比、联想、转化，合理的引进函数，并通过对所引进的函数的研究，使得问题得以解决。

当然，在第三章空间向量与立体几何中，还有许多值得研究的数学思想值得我们重视，这里我们只做适当的分析，以此让大家在数学的教学和学习中注重数学思想方法的探究！

参考文献：

[1]高中数学解题方法与技巧，湖北教育出版社，汪江松，1999年.

[2]中学教材学习讲义，新疆青少年出版社，杜志建，2012年.