星敏感器星点能量分布数学模型及其对精度的影响分析*

高精度乃至甚高精度星敏感器作为目前精度最高的姿态敏感器[1-2]，被广泛应用于当今航天器中，其测量精度直接决定航天器姿态角测量精度、光轴指向精度和系统的噪声等效角.而星敏感器的测量精度主要是由单星测量精度[3]决定的，这不仅与硬件特性(如视场、像元数目等)有关，更取决于质心提取的算法.可以说星点的提取算法是星敏感器整体精度的基础[4].因此研究高精度星敏感器星点提取算法是高精度星敏感器提高性能的关键技术途径，而为了优化和验证星点提取算法的精度，不能把星点能量分布假设得太理想，需要建立贴近实际的星点能量分布模型.

目前星敏感器研究者在研究分析星点提取算法时通常都采用高斯能量分布表示理想情况下星点能量分布函数，但是未见该假设的出处、合理性、对于星点提取精度的影响程度以及是否适用于要求甚高精度的星敏感器等的充分论证，也很少见有文献按照实际采样特点建立光电转换后的星点能量分布模型，而大多是直接采用高斯能量分布.而模型建立的准确性直接关系到精度分析的准确性，因此有必要对此进行研究.

本文首先论证高斯能量分布的合理性；再根据光电采样信号放大特点和去噪声通常处理方法提出两种典型的经过光电转换处理后的星点能量分布数学模型，并对其进行精度仿真分析，经过比较，探索模型的合理性和对星点提取精度的影响.

1 理想星点能量高斯分布假设验证

对星敏感器而言，恒星可以视为无限远点光源，因此理论上星敏感器成像即为无限远点光源光学成像系统，其感光单元即为光学成像系统的焦平面.理想情况下，星敏感器成像可以等同于夫琅和费圆孔衍射.例如，对于零视场夫琅和费圆形孔衍射，感光平面上P点的光强分布公式[5]为

(1)

由于式(1)的形式较为复杂，所以星敏感器研究者一般将星点能量分布函数近似为高斯函数，即假设星点能量分布函数I满足高斯分布[4]

(2)

其中，(x,y)为像面上P点的坐标，(xc,yc)为高斯能量分布中心位置坐标，σ为高斯半径，表示能量的集中程度.

可见(1)和(2)显然不同.虽然高斯能量分布假设被广泛用于分析质心提取算法中，但尚未见有文献对该假设的合理性及可用性进行明确地分析论证.

为此，将式(2)化成类似式(1)的形式，即令r2=(x-xc)2+(y-yc)2，有

(3)

根据高斯半径的含义，即能量大部分集中在距中心3σ内，则可以理解为3σ对应夫琅和费圆孔衍射能量分布的第一极小值点1.22π，有

则式(3)化为

(4)

式(1)与式(4)相减有

ΔI=|I(P)-I(x,y)|.

对其求导后可知ΔI在z=1.2σ处有最大值0.0516I0.可见，式(1)与式(4)的形式相似，存在较小系数差别.虽然从理论上进一步证明二者完全等效较为困难，但由于二者的最大误差值较小，且最大值点唯一，因此用高斯能量分布代替夫琅和费圆孔衍射能量分布存在可行性.两种分布表达式的接近程度将在下文通过仿真进行验证.

2 去噪后星点能量分布数学模型研究

由于光电转换过程中以及后续的星图去噪预处理过程都会改变原有星点能量分布形式，因此在建立星点能量分布进行精度仿真分析时需要考虑这种影响因素，本节将就常见的两种情况进行研究.

2.1 线性转换去噪后的星点能量分布数学模型

首先分析线性光电转换，即敏感器输出电压与光强成正比时对噪声进行预处理的情况.通常的去噪预处理是采用阈值方法，即把低于阈值的能量值记为零，其函数为

2.2 非线性转换后的星点能量分布数学模型

由于受探测器特性限定，并非所有的星敏感器在光电转换过程中都是线性放大的；但是较少有文献考虑存在非线性放大的情况，而这种情况会使亮星输出饱和，因此有必要对其进行研究.两种典型的非线性放大示意图如图 1所示.其中左图中的Q1、Q2为两次转折点，放大倍率两次变小.右图为放大倍率成对数变小.这样高斯能量分布函数的顶部将会被削弱.

图1 非线性放大示意图

这里取一种极限情况，即将两种非线性放大简化为不考虑Q1，只取Q2的折线放大.此时建立的无噪声情况下的非线性光电转换星点能量分布数学模型为

由于实际星敏感器一定存在噪声，所以需要对其进行去噪处理，则有非线性光电转换与去噪预处理后的星点能量分布数学模型为

其中b>c，否则光斑将不存在.定义该模型为高斯顶底均去分布模型.

3 仿真分析

为了得到高斯能量分布假设与夫琅和费圆孔衍射能量分布的接近程度、基于高斯去底分布模型的星点噪声去除属性、高斯顶底均去分布模型的星点噪声去除属性和饱和属性以及对于星点提取精度影响特性，下面进行仿真分析.

3.1 高斯分布模型的合理性仿真验证

为了进一步验证星点能量高斯分布模型的合理性，在理想情况下，对高斯能量分布与夫琅和费圆孔衍射能量分布进行仿真对比.为了仿真方便，对式(1)修改如下：

取能量分布中心所在像元中心为坐标原点，即xc=yc=0进行仿真.两种能量分布剖面对比如图2所示,其中I′=I/I0.

图2 高斯能量分布与夫琅和费圆孔衍射能量分布剖面对比图

用原始加权质心法分别对两种能量分布进行仿真，计算星点质心位置，进而计算两种能量分布对质心提取误差的影响.

原始加权质心法质心计算公式为

其中δx、δy分别为x、y方向质心提取误差.

由于两种能量分布的光斑都是圆形，因此其x方向与y方向质心提取误差对称.所以可以只研究x方向的星点质心提取误差.

定义δg为高斯能量分布质心提取误差，δf为夫琅和费圆孔衍射能量分布质心提取误差，其相对质心提取误差为

δgf=|δg|-|δf|

其含义为同等条件下，δgf>0时，高斯能量分布的质心提取误差较大；δgf<0时，夫琅和费圆孔衍射能量分布的质心提取误差较大；δgf=0时，两种能量分布的质心提取误差相当.后面几种相对误差含义均与该相对误差含义相似.

不同高斯半径时两种能量分布的质心提取误差随能量分布中心位置的变化关系如图3所示，其相对误差随能量分布中心位置的变化关系如图4所示.

图3 δg与δf对比图

图4 δgf随能量分布中心位置变化的关系

由图2～4可知，在理想情况下，高斯能量分布与夫琅和费圆孔衍射能量分布不仅在能量分布形式上基本相似，而且在不同高斯半径，质心提取误差随能量分布中心位置的变化关系也相似，且相对误差较少，所以用高斯能量分布表示理想星点能量分布函数是合理的.但是当高斯半径小于0.7时，该假设会使质心提取误差相对增大，最大相对误差约为0.01像元.高斯半径大于0.7时，该假设可以使质心提取误差相对减小.因此高斯能量分布假设在精度要求一般的情况下完全适用于表示理想星点能量分布，而在精度要求甚高时，只适用于大高斯半径的情况.

3.2 仿真分析高斯去底分布模型

由于高斯去底模型在选择合适的去底率时可以将噪声剔除，所以在仿真中不再加入噪声，认为去底率均大于阈值，只分析该模型质心提取精度是否能高于无噪声情况下未进行星图预处理时高斯能量分布的质心提取精度.

定义δd为高斯去底能量分布质心提取误差，高斯能量分布与高斯去底能量分布的相对质心提取误差为

δgd=|δg|-|δd|

在3像元窗口下，取xc=-0.25，利用原始加权质心法分别对理想高斯能量分布和高斯去底能量分布进行质心提取，当σ为0.3～1.0时，其相对质心提取误差随去底率的变化关系如图 5所示.

图5 δgd随去底率变化的关系

由图 5可知在一定去底率内，相同条件下，高斯去底能量分布的质心提取精度要高于高斯能量分布的质心提取精度，且随着高斯半径的增大，可用去底率(即δgd>0时的最大去底率)逐渐增大，可提高质心提取精度程度增大.但是在高斯半径较小时，只能小幅度提高质心提取精度，且可用去底率很小.当高斯半径大于0.6后可以有效地减小质心提取误差.所以该模型在不同高斯半径、不同信噪比下选择不同的去底率时，可以提高质心提取精度.

该模型在一定去底率的情况下，可以很好地提高质心提取精度的原因是星点能量模型底部的灰度值较为分散.在窗口固定的情况下，采用去底处理之后可以使能量更为集中，使得窗口边缘的像元灰度值比例变大，可以有效降低质心向像元中心偏离的现象.但是当高斯半径较小时，由于星点光斑不能覆盖整个窗口，去底后使得可用像元数减少，因此，不能使用较大的去底率.也就是说对于实际系统，当高斯半径较小时，对信噪比较低的星点，不能在去除噪声的同时提高质心提取精度；当高斯半径较大时，二者可以同时满足.

3.3 仿真分析高斯顶底均去分布模型

首先对无噪声情况下，高斯去顶模型进行仿真分析，以确定非线性放大是否有利于提高提取精度.

定义δq为高斯去顶能量分布质心提取误差，高斯能量分布与高斯去顶能量分布的相对质心提取误差为

δgq=|δg|-|δq|

在3像元窗口下，取xc=-0.25，利用原始加权质心法分别对理想高斯能量分布与高斯去顶能量分布进行质心提取，当σ为0.3～1.0时，其相对质心提取误差随去顶率的变化关系如图 6所示.

图6 δgq随去顶率变化的关系

由图 6可知，理想情况下，高斯去顶模型的质心提取精度随着去顶率的增大先变大，再变小.随着高斯半径增大，可用去顶率(即δgq>0时的最大去顶率)逐渐变小.当高斯半径增大到1之后可用去顶率几乎为零.

该模型在高斯半径较小时，可以很好地提高质心提取精度的原因是星点能量模型顶部的灰度值相对于附近灰度值过高，使得计算的质心向像元中心偏离.进行去顶处理后可以使顶部高灰度更平均，在一定范围内可以有效提高质心提取精度.当高斯半径过大时，顶部能量几乎水平，去顶处理无效.

因此可以根据实际情况设计不同去顶率的星敏感器感光器件以提高质心提取精度.

定义δj为高斯顶底均去能量分布质心提取误差，高斯能量分布与高斯顶底均去能量分布的相对质心提取误差为

δgj=|δg|-|δj|

由于3像元窗口在σ=0.45时，用原始质心法对高斯能量分布进行质心提取，其误差最小.所以选择x=-0.25,σ=0.45用原始加权质心法分别对高斯能量分布与不同去顶率、去底率时的高斯顶底均去能量分布进行质心提取，其相对误差如图7所示.

图7 δgj随去底率与去顶率变化的关系

由图7可知，在噪声较小时，通过选择合适的去底率与去顶率，可以有效降低噪声影响并且提高质心提取精度.在噪声较大时，选择较大的去底率可以减小噪声的影响，同时通过选择合适的去顶率可以避免质心提取精度下降过多.

4 结 论

本文通过研究确认了星点高斯能量分布假设的合理性，为后续使用高斯能量分布假设提供依据.建立了更接近实际处理过程的高斯去底与高斯顶底均去两种能量分布数学模型，并仿真分析了这两种模型对于星点提取精度的影响程度.仿真所得数据可以作为提高星敏感器星点提取算法的改进依据，同时也可以为设计新型星敏感器提供参考，具有实际参考价值.

参 考 文 献

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