刚性压头I型触压应力强度因子计算

魏承岩，魏 嘉

（1. 沈阳东洋制钢有限公司，辽宁 沈阳 110024； 2. 中国寰球工程公司辽宁分公司， 辽宁 抚顺 113006）

接触问题是弹性力学中的一类问题，接触理论已经广泛应用于生产生活中的各个领域。由于接触问题的非线性，用经典的方法求解他的精确解是十分困难的，而用有限元法可以十分简单的得到它的数值解[1]。当刚性压头压在弹性体的表面上时，弹性体容易在接触边界上产生类似于I型裂纹的应力场，且弹性体裂纹的产生扩展主要取决于接触边界的奇异应力场。在接触应力场中应力强度因子代表了应力场的强度，当应力强度因子达到材料的断裂韧性时，裂纹开始扩展。由于接触断裂力学中假定弹性体的缺陷要比接触的区域小的多，可以认为是无缺陷，因而失效的主要原因是由于接触压力引起的开裂。因此求得此处的应力强度因子是十分必要的。

1 压痕问题的数学模型

1.1 压痕拐角的应力场

对于绝对刚性的压头作用在弹性半平面上，弹性半平面变形后在压头接触区是一条直线，如图1所示，压头的尺寸为 2a，作用在法线上的集中力为 P，在不考虑压头与弹性半平面之间摩擦力的情况下，由弹性力学可以得到在压头拐角处的局部应力解为[2]：

其中 sx， sy， txy为应力分量，r为径向坐标，为应力强度因子且有：

图1 刚性压头压入弹性半平面Fig.1 Rigid indenter press in elastic half plane

1.2 J积分

Rice在1968年提出了J积分[3,4]，紧接着提出了HRR理论，奠定了J积分在断裂力学中的地位，如图2所示J积分可以表示为：

根据断裂力学，很容易证明：

在线弹性平面应变情况下，则有：

图2 J-积分路径Fig.2 J - integral path

2 有限元计算

2.1 裂纹尖端奇异性模拟

本文中刚性压头和弹性基底的问题是接触问题中面面的刚柔接触分析，对于二维的平面问题，刚体一般用线代替面。用pilot控制刚体的移动，在刚体的底面与半平面的上表面建立接触单元。采用平面183单元，和169，172接触单元，使用kscon划分裂纹尖端网格[5,6]。

图3 裂纹尖端接触压力分布图Fig.3 The crack tip contact pressure distribution

弹性半平面的材料常数取：弹性模量 E=200 GPa，泊松比 μ=0.3。由公式 1可以看出在裂纹尖端应力表现为奇异性。图3给出来在裂纹尖端接触压力分布图，从图中可以看出，在压力接触区应力的分布是不均匀的，在压头端点处急剧上升达到最大值，这进一步说明了在接触端点处存在应力集中现象。

2.2 应力强度因子

如表1所示所示，在压力分别为1 000 kN到5 000 kN作用下，分别用位移外推法和J-积分法求解的应力强度因子[7,8]。从表中可以看出，随着载荷P的增大，在先弹性状态下，应力强度因子线性增大。两种方法的误差很小，基本控制在2%以内。验证了J-积分在线弹性断裂力学中同应力强度因子的关系。

表1 不同压力下的应力强度因子Table 1 The stress intensity factor of different pressureTable

2.3 不同材料下的压痕深度

图4给出以E=2E11为基准的不同材料下的压痕深度。可以看出随着弹性模量的逐渐减小，材料硬度变小，导致压痕深度增加。

图4 不同材料下的压痕深度Fig.4 The indentation depth of different material

3 结 论

应用有限元方法解决实际问题时提出合理的简化模型非常重要，并要根据实际情况定义合理的边界条件，通过本文可以得到以下结论：

（1）在触压场端点处存在应力集中现象，可以使用断裂力学中应力强度因子概念描述它。

（2）使用J-积分和位移外推法都可以求得应力强度因子大小，两者误差很小，但是使用J-积分仅仅局限于线弹性条件。

（3）不同的材料在相同的触压力下的压痕深度不同，应力强度因子也不相同。

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