基于证据理论的航天产品的非参数可靠性评估方法*

周 旷 师义民 马丽娜

西北工业大学，西安 710072

航天产品多为复杂新型产品，由于时间、经费、保密等因素的限制，产品寿命的分布类往往未知。随着可靠性水平的不断提高，其贮存寿命和使用寿命通常都比较长。要获得此类产品的寿命数据，按照传统的寿命试验方法就是通过自然环境贮存、长期监测和数据统计来得到。虽然这种试验技术获得的数据比较真实，得到的结论也比较可信，但是试验周期一般较长，不能跟上产品的更新改良速度。同时，对影响新型产品失效的因素也没有理论上的完整认识。非参数统计方法由于不受限于分布类型，在这种情况下就发挥着重要的作用。对样本先验信息的缺乏在信息学上称之为不确定性，是寿命数据统计分析中常遇到的问题[1]。因此，许多学者研究了不确定推理方法在可靠性评估中的应用，其中常用的方法有：不精确概率论(又称为区间概率论)[2]、模糊集理论[3]、随机集理论[4]等。

Dempster-Shafer证据理论可以有效地处理不确定信息，而且提供了融合多源证据的组合规则，近来已被广泛应用在信息融合[5]，图像处理[6]等领域，已有许多学者将其应用在可靠性评估当中。文献[7-8]研究了DST融合可靠性中不确定信息的方法。这些文章利用的都是相似产品的可靠性信息或者专家的经验信息。不同的是，本文用假设和证据理论提出了一种只使用具有缺失信息(分布类未知)的样本数据寿命分析方法。首先利用假设基于样本数据构建了分布函数的概率上下限，然后将其转化为证据理论框架下的基本信度分配(BBA)，最后在可转移信度模型(TBM)下将其转换为一种概率度量，可据此对产品的寿命特征进行评估。数值实例表明了本文提出方法的可行性和有效性。

1 相关理论基础

1.1 DST和TBM

设Θ={θ1,θ2，…，θN}表示X所有可能取值的论域集合，且所有在Θ内元素是互不相容的，称Θ为X的识别框。证据理论是建立在幂集2Θ={A∶AΘ}上的[9]。

定义1 设Θ是X的识别框架，则函数m∶2Θ→[0,1]称为2Θ上的基本信度分配(BBA)函数，如果满足：

(1)

其中，m(A)表示了对A的直接支持，通常称为A的mass值。对空集Φ分配的基本信度m(Φ)代表了识别框架的不一致性和不完整性。满足m(A)>0的子集A称为焦元，所有焦元的集合F={A|m(A)>0}称为Θ的核。称二元组(F,m)为定义在Θ上的一条证据。按照式(2)和(3)定义信任度函数(bel)和似然度函数(pl)。

∀AΘ

(2)

(3)

bel(A)和pl(A)分别代表了对命题A的最低支持和最高支持。

可转移信度模型[10]是一种定量描述信度的数学模型。这是一个两层模型:1) 建立和度量经验信度的信度层(creedal level);2) 用于决策的概率层(pignistic level)。

在TBM中，可用Pignistic概率转换公式将BBA转换成一种概率度量。最常用的转换方法是平均分配法(Smets法)，认为每一个元素出现的概率相等，因此把多元素命题的BBA值平均分配给所包含的元素[11]。

(4)

其中|A|为集合A的势。

1.2 A(n)假设

Hill提出的A(n)假设为样本分布完全未知时的统计预测问题提供了依据[12-13]。

定义2 设xi,i=1,2,…，n是从一有限总体中抽取的一组样本，x(i)为相应的次序统计量。定义A(n):

1)观测变量X1,X2,…，Xn是可交换的；

2)以概率0无重复观测样本值(称之为结)；

下面对A(n)从可交换性的角度进行直观解释。由于只有样本数据{x1,x2,…，xn}，所以对后验数据只有一个位置的认识，而没有先后的概念。这也反应了先验信息的缺乏。许多学者对这一假设从理论上给予了证明。Hill给出了对A(n)的一个非参数Bayesian证明方法[14]，Lane和Sudderth用博弈论的方法对A(n)进行了讨论[15]。利用A(n)假设并不能得到变量的精确概率分布，但是De Finetti提出了根据A(n)来构建概率上下限的方法[16]，这和Walley的不精确概率理论的思想是一致的。关于这方面的详细讨论和应用可参阅文献[17～18]。

Coolen把A(n)拓展到截尾数据模型[19]，称为rc-A(n)。设在寿命试验中有n(n=u+v)个事件发生时刻x1,x2,…，xn，其中包括u个失效时刻

0

(5)

和v个截尾时刻

0

(6)

则rc-A(n)定义如下：

(7)

其中i=0,1,…，u，k=1,…，li,t(0)=0,t(u+1)=∞。 如果上式中的连乘发生在空集上，则令其值为1。

这一关于截尾样本数据的后验假设既包含了对样本分布等先验信息的无知，也包含了截尾形式的完全随机性。如果样本中没有截尾数据(完全样本)， 则rc-A(n)退化为A(n)。

2 寿命估计模型

2.1 基于rc-A(n)的不精确概率

Augustin和Coolen给出了基于A(n)假设的构建事件Xn+1∈B上下概率限的方法[17]。类似地，这里给出根据rc-A(n)假设的构建方法。

(8)

(9)

公式(8)和(9)定义的概率上下限是最小的上界和最大的下界[19]。

考虑事件Xn+1∈(t,∞)，为了和下文构建mass函数时一致，定义关于可靠度函数(R(t))的上概率函数和下概率函数：

(10)

(11)

其中

P(Xn+1∈(t(i),t(i+1))=MXn+1(t(i),t(i+1))+

不可靠度函数(分布函数)

F(t)=1-R(t)

的概率上下限分别为：

(12)

和

(13)

易知，关于分布函数的上概率函数左连续，下概率函数右连续，而且都是阶梯函数。在不引起混淆的情况下，在后续讨论中，记

2.2 mass函数的构建

算法1：

(1)初始化变量，令k，i,j=1,P0=0；

mk=F(x*i)-pk-1,pk=F(x*i)

令k=k+1,i=i+1，返回步骤(2)。

令k=k+1,j=j+1，返回步骤(2)。

2.3 Pignistic 概率决策

由上节算法得到的BBA的焦元区间是[0,1]子区间，该证据的识别框架为[0,1]的子区间的集合

Θ={[a,b]|0≤a

按照Smets平均分配思想，如果已知θ上的BBA，可得到区间A的Pignistic概率为

∀A⊂Θ

(14)

这个公式有一个简单的数学解释：区间B上的mass值，将平均分配给所有与它有交集的区间。对于单点概率，可类似地有，

∀θ∈Θ

(15)

BetfXn+1为关于下一个观测变量的Pignistic概率密度。根据TBM模型，对于Xn+1的“决策”可根据此进行。例如，可以用该概率分布的期望预测下一个变量Xn+1的平均寿命，用BetPXn+1(t,∞)表示t时刻的可靠度。

3 数值实例

下面用2个数据集对本文提出的方法进行验证。例1是一个真实数据集，例2是一个用人工方法产生的模拟数据集。

例1 Lawless给出了一种球状轴承的寿命数据集。数据是23个轴承在失效前的转数(百万次):

17.88, 28.92, 33.00, 41.52, 42.12, 45.60, 48.80, 51.84, 51.96, 54.12, 55.56, 67.80, 68.64, 68.64, 68.88, 84.12, 93.12, 98.64, 105.12, 105.84, 127.92, 128.04, 173.40.

选取6个截尾(移走)时刻：40.00, 60.00, 70.00, 80.00, 90.00, 100.00,试验中观测到的数据(百万转数)如表1所示。

表1 轴承寿命数据(>表示截尾数据)

由公式(8)和(9)得到X24的分布函数的上下限，如图1所示。 图2分别描述了此寿命变量的Pignistic概率。X24的平均寿命为56.6384(百万转)。

例2 设某型液体火箭发动机服从双参数威布尔分布WeiBull(2,5)。 随机产生容量为20个服从威布尔分布WeiBull(2,5)的样本。随机选取3个截尾时刻0.80，1.00，1.20(单位：104h)。生成的随机样本如表2所示(单位：104h)。图3和4分别描述了分布函数的上下概率限和Pignistic概率图。X21的平均寿命为1.3488， 这和理论值1.0547比较接近。

例2虽然给出了元件的寿命分布，但是只应用上节提出的算法进行计算并未使用。从例1和例2可以看出，本文提出的方法使寿命分布未知的产品可靠性评估带来了极大的方便，而且保证了评估结果的合理性。

图1 X24分布函数的上下概率

图2 X24 Pignistic概率

图3 X21 分布函数的上下概率

0.66051.03071.1621>0.80001.0424>1.20000.81701.05601.20600.83411.11091.21920.87711.11201.34970.99701.11401.3973>1.00001.1304

图4 X21 Pignistic概率

4 结论

本文提出了一种基于证据理论的非参数预测方法，并将其应用于新型航天产品的可靠性评估。首先利用样本数据构建了分布函数的概率上下限，然后将其转化为证据框架下的基本信度分配，最后利用可转移信度模型的Pingstic概率转换方法得到了关于未来观测变量的概率度量，可据此对产品的寿命特征进行评估。数值实例表明本文得出方法的正确性和有效性。由于该方法仅利用了样本数据， 这对样本分布类无知的情况下评估问题具有重要意义。要把本文提出的方法适用于一般的截尾模型，如定数截尾试验、逐步截尾试验等，这就要放宽A(n)假设中样本数据无重复值的限制，这将是下一步研究的方向。

参 考 文 献

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