模糊距离空间

呼和

（内蒙古大学，内蒙古呼和浩特010021）

模糊距离空间

呼和

（内蒙古大学，内蒙古呼和浩特010021）

本文我们主要介绍了模糊距离空间的概念，在模糊距离空间里两点间的距离是非负的、上半连续的、正规的、凸的模糊数.近几年这些研究在概率度量空间做了很多.介绍概率度量空间的原因就在于，很多情况下两点间距离不是一个准确的单独的实数，但是当测量一个正常的长度时，距离的不确定度不是由于随机性导致的而是由于模糊度，这时引进模糊距离空间的概念就更合适.Kramosil和Michalek介绍模糊距离空间是通过把概率度量空间的概念推广成模糊的情况.本文的目的在于通过指定两点间距离为一个非负的模糊数，再把距离空间的概念推广成模糊的情况.文中第一部分我们研究了模糊数的性质，第二部分我们定义了模糊距离空间，研究了它的一些性质并给出证明.

模糊度；模糊度量空间；模糊数

1 模糊数的性质

一个模糊数是实数轴上的一个模糊集，即映射x:R→[0,1].一个模糊数x如果x(t)≥min{x(s),x(r)}，其中s≤t≤r则它是凸的.在以前文章中指出x是凸的当且仅当它的每一个α水平集[x]α满足∀α，0＜α≤1，都有[x]α={t|x(t)≥α}是R中的凸集.

给出证明：(必要性)设α∈(0,1],∀t1,t2∈[x]α，λ∈[0,1].要证λt1+(1-λ)t2∈[x]α，由于min{t1,t2}≤λt1+(1-λ)t2≤max{t1,t2}，故x[λt1+(1-λ)t2]≥min{x(t1),x(t2)}≥α因此λt1+(1-λ)t2∈[x]α.

(充分性)设s≤t≤r，取α=min{x(s),x(r)}.要证x(t)≥α，若α=0则显然x(t)≥0=α.若0＜α≤1，由于[x]α是凸集.且s,t∈[x]α，故λt1+(1-λ)t2∈[x]α，其中

如果∃t0∈R，使x(t0)=1，那么x成为是正规的（ker[x(t)= {t|t∈R,x(t)=1}]当且仅当kerx(t)≠ø，x(t)是正规的）.一个上半连续凸的正规的模糊数的α水平集[x]α是一个闭区间[aα，bα]，其中aα=-∞，bα=+∞是允许的.

给出证明：[x]α={t|x(t)≥α}是R中非空闭凸子集，故一定是闭区间.

记所有上……