330个中国城市P空间下公交复杂网络实证研究

许 晴，祖正虎，徐致靖，张文斗，郑 涛

(北京生物工程研究所，北京 100071)

1 引 言

公共交通系统是一个城市的关键基础设施，与市民的日常生活、城市的正常运转及经济发展密切相关.复杂网络的兴起，为研究城市公共交通开辟了一条新的道路.将城市公交系统抽象为复杂网络，可以从系统的高度研究公交系统的结构性质及本质规律，从公交系统发展变化的过程中探索系统潜在的演化机制，是对公交系统传统研究方法的有益补充，有利于对现实公交系统的规划、管理与决策.

国内外学者从复杂网络角度对城市公共交通系统开展了大量研究.Sienkiewicz等［1］研究了波兰22个城市的公共交通网络，分析了度、特征路径、簇系数等拓扑参数.Ferber等［2］对世界上14个大城市的公交网络进行了实证分析.国内方面，Li Ping等［3］对中国10个较大城市(成都、广州、杭州、上海、沈阳、深圳、天津、武汉、南京、北京)的公交网络进行了实证分析，发现各城市公交网络均表现出小世界特性.另外，他们研究了城市公交网络的全局与局部效率，结果表明，这十个城市公交网络局部效率很高，而全局效率很低.陆化普等［4］研究了廊坊、济宁和大连的城市公交网络.顾前等［5］对北京、上海和杭州3大城市公共交通网络分别在L空间和P空间映射下的网络进行了研究，发现3个城市的公交网络均具有较小的平均路径和较大的簇系数，即具有典型的小世界特征，这种特征在P空间中反映更为明显;节点度分布在Space L方法描述下具有无标度特性，在Space P方法的描述下具有指数分布特征.惠伟等［6］以上海、北京等城市的公交线路部分站点和路线为例，分别从公交站点网络、公交换乘网络和公交线路网络角度总结了城市公交网络的复杂特性，发现北京和上海的公交网络具有小世界特性，度分布都符合指数分布.

目前针对中国城市公交网络的研究还仅限于对北京、上海、广州、深圳等大城市的实证研究，尚没有同时横向对比分析大量城市公交网络拓扑结构特征的研究.本文于2012年3月10日获取可公开下载的城市公交信息数据库(http://mobile.8684.cn/down)，各城市数据库中包含该城市所有公交线路名称、始末班车时间等信息及每条公交线路上(上下行)依次经过的公交站点的名称及经纬度坐标，利用C++编程解析数据库内容.考虑到部分城市公交系统规模过小(如云南潞西仅有2条公交线路8个公交站点)而带来的随机性影响，本文针对公交线路达到10条以上的330个中国城市的公交信息构建公交复杂网络，覆盖了中国大陆直辖市、所有省份的省会城市及其他主要城市.各城市公交线路数量从10条(临沧、渭南、滁州等)到1714条(北京)，公交站点数量从32个(临沧)到9502个(上海)，公交系统规模跨度巨大.本文探讨了不同规模的城市公共交通网络在拓扑结构上不依赖于城市人口、社会、经济等外部因素的共性特征，所得结论对城市公共交通研究及公交网络演化建模具有指导和参考作用.

2 构建公交复杂网络

定义网络的拓扑结构是分析公交网络的前提和基础.目前，城市公交网络拓扑模型主要采用L空间模型和P空间模型，分别对应于公交站点网络和公交换乘网络.公交站点网络以公交站点为网络节点，在同一条公交线路上相邻的两个公交站点间连一条边.公交换乘网络同样以公交站点作为网络节点，同一条公交线路上的任意两个公交站点之间连上一条边，如图1所示.这两种抽象方法在其它形式的交通网络研究中也被普遍采用，如铁路网络［7］，地铁网络［8］等.除此之外，对交通网络进行研究还有其他处理方法，如吴建军、高自友等考虑公交线路起讫站点形成的网络［9，10］.

P空间模型中，每个公交站点的节点度k和节点间的距离具有明确的物理意义.节点度代表从该站点不需换乘公交线路所能到达的公交站点数，节点间的距离可解释为乘客从一个站点到达另一个站点所需乘坐的公交线路数目，即换乘次数+1.如图2(b)中，节点3的度为5表示从站点3不需换乘可到达5个公交站点，节点1到5的距离为2表示乘客从站点1到站点5需要进行1次换乘才能到达.而L模型过度抽象使得特征参数值物理意义模糊，路径选择单纯追求路径最短，与乘客实际选择出入较大，难以反映实际公交路网特性.同时，从图1中可以看出，同一城市的公交线路网络是公交换乘网络的子图，和公交线路网络相比，公交换乘网络包含了更多的信息.因此，本文主要研究城市公交系统在P空间映射下的网络即公交换乘网络的拓扑结构.

图1 公交网络构建示意图Fig.1 Schematic diagram of public transport network building process

3 公交复杂网络度分布

图2为公交站点数量前5名城市公交网络累积度分布分别在半对数坐标系中和双对数坐标系中的表现.从图中可以看出，这些网络的累积度分布在半对数坐标系下更接近于直线.对330个城市公交网络累积度分布分别进行指数和幂律拟合得到指数值、标准偏差和拟合度等信息，可以看出对每个城市的公交网络度分布更适合以指数分布进行描述，拟合得到的指数分布于(0.0085，0.25).网络度分布符合指数分布表明中国城市公交复杂网络不是传统的随机网络(节点度服从泊松分布)，也不是择优增长的网络(节点度为幂律分布)，而是随机演化的增长网络，新增公交站点与已有公交站点的连接方式为随机连接，此发现对330个城市具有普遍适应性，暗示这可能是公交系统演化的内在基本规律，对公交网络演化建模研究具有重要指导意义.

图2 按站点数量前5位城市公交复杂网络累积度分布(a)半对数坐标系 (b)对对数坐标系Fig.2 Cumulative degree distribution of public transport complex networks in top 5 cities ranked by bus station numbers(a)Under semi-logarithmic coordinate system(b)Under double logarithmic coordinate system

4 公交网络的小世界特征

复杂网络的小世界性质指网络具有如下拓扑特征:

在本文研究的330个城市的公交网络中，平均最短路径最大的城市是上海(3.458)，表示在上海市的9502个公交站点中，从任意一个站点到另外一个站点平均只需换乘2.458次即可到达.每个城市公交换乘网络簇系数分布于(0.707465，0.943122)，均远大于对应随机网络的簇系数.表1为按公交站点数量排名前10名城市公交换乘网络基本统计参数.因全部城市公交网络的基本统计参数较多，无法在正文中有所体现，故本文中只节选前10名城市数据(如需要全部数据可与本文作者联系:xuqing1443@yahoo.com.cn).从这些统计结果可以看出，城市公交网络普遍具有较小的平均路径和较大的簇系数，即典型的小世界网络特征.

表1 站点数量前10名城市公交网络基本统计参数Tabel 1 Basic statistical parameters of public transport network in top 10 cities ranked by bus station numbers

5 公交网络同配性质

复杂网络的同配性质描述网络中节点之间的连接偏好，间接反映了网络的组织演化机制.如果度大的节点倾向于连接度大的节点，则称网络是正相关(Assortatieness)，反之则是负相关(Disassortativeness)的.Pastor － Satorras 等人［11，12］给出了同配性一个简洁直观的刻画，即计算度为k节点的邻居节点的平均度，其值为k的函数.对于正、负相关的网络，函数图形分别是k的递增、递减曲线;对于不相关的网络，函数值为常数.随后，Newman指出只需计算节点度的Pearson相关系数r(－1≤r≤1)就可以描述网络的同配性［13］，r定义为

式中 ji，ki分别表示连接第i条边的两个顶点j，k的度，M表示网络的总边数.r的取值范围为(－1≤r≤1)，当r＞0时，网络是正相关的;当r＜0时，网络是负相关的;当 r=0时，网络不相关.

Sienkiewicz等在文献［1］中分析了22个波兰城市P空间映射下公交网络的同配性，发现站点数量N＜500的城市公交网络普遍负相关，N＞500的普遍正相关.对中国城市公交网络同配性的研究发现，这个相变点出现在大约 N=1000处，在N＞1000的32个城市中，度度正相关的城市为27个，N＜1000的298个城市中，度度负相关的城市为240个，占 90.03%，如图 3所示.这表明，在N＜1000的城市公交系统中，度大的公交站点更倾向于连接度小的站点，而N＞1000的大城市公交系统中度大的站点更倾向于连接度大的站点，该结论对理解城市公交系统从原始站点到发展完善的演化规律及公交系统演化建模研究具有重要意义.

图3 各城市公交站点数量和网络同配性的关系Fig.3 The assortativity coefficient as a function of N

6 公交复杂网络的等级模块性

定义 ＜C(k)＞为度为k节点的平均簇系数，则 ＜C(k)＞与k之间的关系称为簇度相关性(Clustering-Degree Correlations)，反映了不同度值节点间相互直接连接的聚类程度.

根据公交网络的构建机制，同一条公交线路上的公交站点之间形成一个完全连通图，每个公交站点的簇系数都为1.当某一公交站点同时还在其它公交线路上时，如图1中的公交站点3同时属于公交线路1和2，公交站点3的节点度增加，但线路1上其它站点和线路2上其它站点之间存在连边的可能性几乎肯定小于1，因此节点3的簇系数几乎肯定要减小.可以看出，在公交网络中，节点的簇系数和节点度之间具有强烈的负相关性.对中国城市的公交网络研究发现，普遍存在如下现象:对较小的节点度，平均度簇系数几乎保持不变，接近于1.随着节点度的增加，＜C(k)＞与k之间近似服从幂律关系:＜C(k)＞～k－β.如图4所示为按公交站点数量前4位城市公交网络节点度与平均度簇系数的关系.

平均度簇系数随度的这种幂律变化行为表明该网络具有等级模块性［14，15］.产生这种现象的原因可以由网络的构建机制来解释，每条公交线路上的所有站点之间构成一个完全连通图，从而形成一个局域世界，整个公交网络就是由这些局域世界构成，各个局域世界之间通过公交线路之间的共有站点发生联系.最终导致公交网络中度很小的节点属于高度连接的小模块，具有较高的簇系数，而度很高的hub节点簇系数较低，其作用只是把不同的模块连接起来.

图4 站点数量前4位城市公交网络 ＜C(k)＞随k幂律下降Fig.4 The variation of the clustering coefficient ＜ C(k)＞ againstthe degree k forpublic transport network in top 4 cities ranked by N indicates a logarithmic decay for large k

7 研究结论

对现实中的复杂系统进行实证研究是进行建模研究的基础.本文收集整理了全国330个城市的公交数据，建立了P空间下的城市公交复杂网络，并针对复杂网络的小世界特性、度分布、网络同配性、等级模块性等结构属性进行了详细研究和横向对比分析，得出如下主要结论:

(1)网络度分布普遍呈指数分布，表示公交网络演化机制为随机增长演化.

(2)普遍具有较大的簇系数和较小的平均路径长度，呈现典型的小世界特征.

(3)网络同配性在公交站点数N等于1000处发生相变，小于1000的网络大部分呈负相关，大于1000的网络大部分呈正相关.

(4)对较小的节点度，节点度平均度簇系数几乎保持不变，接近于1.随着节点度的增加，＜C(k)＞随k的增大呈幂律下降关系，表示公交复杂网络具有显著的等级模块性.

各个城市公交网络规模具有很大的跨度，各城市社会、经济、人口等方面也都存在较大差异，本文通过对众多城市公交复杂网络结构参数进行纵向分析和横向比较，找到公交网络不依赖于这些外部因素的本质属性，本文研究成果可为探索城市公交网络演化机制及建模提供参考和指导作用.

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