一道中考题的多解、改进与启示

☉江苏省东海石榴初级中学 尚海燕

一、试题回放

题目 某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图1所示.其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm，为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）

说明：本题为2013年滨州市中考试题第24题，分值10分.

图1

图2

图3

二、多解展示

所以EP=12，所以EF=2EP+PQ=24+20=44（cm）.

解法二（平移腰）：如图3，过点C作CM∥AB，交EF、AD于N、M，作CP⊥AD，交EF、AD于Q、P.

由题意得，四边形ABCM是平行四边形，所以EN=AM=BC=20（cm）.

所以MD=AD-AM=50-20=30（cm）.

由题意知CP=40cm，PQ=8cm，所以CQ=32cm.

解得NF=24.

所以EF=EN+NF=20+24=44（cm）.

解法三（平移腰）：如图4，过点F作FM∥AB，交直线BC、AD于N、M，作FP⊥AD，并反向延长交BC于Q.由BC∥AD，可知FQ⊥CN.

由题意得，四边形ABNM、BEFN、EAMF均为平行四边形，所以CN=BN-BC=AM-BC=AM-20.

所以MD=AD-AM=50-AM.

由题意知PQ=40cm，PF=8cm，所以FQ=40cm-8cm=32cm.

因为CN∥MD，所以△CNF∽△DMF.

解得AM=44.

所以EF=AM=44（cm）.

图4

图5

解法四（平移腰）：如图5所示，只要求出FN即可.过程基本同“解法二”.

解法五（延长腰相交）：如图6，分别延长BA、DC交于点O，过点O作OQ⊥AD，交EF于点N，交BC于点M.

由BC∥EF∥AD，得OM⊥BC，ON⊥EF，MQ=40cm，NQ=8cm，所以MN=32cm.

图6

图7

解法六（连对角线）：如图7，连接AC，过点C作CH⊥AD交EF于N点.由题意可知CN⊥EF，则有CH=40cm，NH=8cm，所以CN=32cm．因为EF∥AD，所以△CMF∽△CAD．

所以MF=40cm.

同理求得EM=4cm.

所以EF=MF+ME=44cm.

解之得x=44（cm）．

说明：本解法直接从梯形的面积切入，根据题意作一高线足矣！这是以上各种方法中最简单的一个，如此求解的话可能背离了命题者的初衷（试题答案提供的是解法二），但它回归了几何题目的原生态——面积，这一方法古朴（几何的起源、勾股定理的证明等）、通俗（小学已熟悉），给人“大道至简、大美天成”之感！是解题智慧的一种折射.

三、试题评析

1.生活味与数学味拿捏适切

本题取材源于学生的生活，一个学生的板凳，天天离不开学生……