基于分形理论的公交网络空间结构复杂性研究——以武汉市中心城区为例

段德忠，刘承良，3＊，陈欣怡

（1.华中师范大学城市与环境科学学院，湖北 武汉 430079；2.华中师范大学武汉城市圈研究院，湖北 武汉 430079；3.湖北大学中国旅游案例教学与研究中心，湖北 武汉 430062；4.英国肯特大学商学院）

0 引言

分形理论自产生以来即已成为描述复杂现象空间分布的有力工具［1，2］，交通网络的结构与城市的演化和区域的发展是一种空间的互动过程［3］，因此利用分形理论探讨交通网络分布的复杂性具有重要意义。国外对交通网络的分形研究始于20世纪80年代，研究尺度多集中于城市内部，研究内容多侧重于解读路网的分形性质［4－7］。国内交通网络的分形特征研究在20世纪90年代末期开始活跃［8］，主要是通过借鉴国外成熟的分形理论和分维模型［9］，揭示国内主要城市及区域交通网络的自相似性、无标度性和动态性特征［10－15］。

从研究方法看，大量采用长度维数、分枝维数、计盒维数三大分维模型，其存在两大缺陷：第一，在上述分形模型中，将区域（或城市）内的交通线网视为同一级别，这与现实中道路等级层次性相悖，加权等级的分形模型应受到关注［16］。第二，交通网络的分形研究侧重道路线网研究，忽视节点（或站点）的研究，对节点重要性的研究更少［17］。从研究视角看，大量区域或城市交通网络分形研究中，关于城市公交网络空间结构的分形研究鲜有提及；仅有的公交线网评价研究［18］仍然没有避免上述两个缺陷，且计盒维数应用在测算城市公交线网覆盖度上有待商榷。所以，作为城市交通网络的基本骨架，城市公交网络空间形态分形机制及空间差异研究仍需加强。

截至2012年，武汉市中心城区公交网络共拥有公交站点1 389个，公交线路271条，其中普线48条（城区38条、郊区10条），专线223条（城区182条、远城区13条、郊区28条）。然而，公交线路在设置上过度依赖城市主干道，通行路径重复率过高（平均每条线路仅覆盖5.13个站点），在很大程度上使公交成为武汉通行高峰期交通拥堵的主要因素之一，不仅没有为市民提供便利，反而成为负担。

本文针对传统分形模型的缺陷，构建加权分形模型，从网络均衡性、站点可达性、站点—线路异速生长性多视角揭示了武汉市中心城区公交网络的空间异质性及其复杂特征，一方面为充实和完善公交网络分形理论和方法研究、解决当前公交网络结构不合理提供借鉴和指导；另一方面力求找出武汉市公交网络发展不合理的结构性内核机理，为武汉市公共交通发展规划提供战略依据。

1 研究方法与数据处理

1.1 加权分形模型

1.1.1 加权站点—半径模型 假定一个区域内的公交站点按某种自相似规则围绕中心城区呈凝聚态分布，且公交站点的分形体在各个方向均匀变化，则可借助几何测度关系确定半径r的圆周内公交站点数量N（r）与半径的关系，即有：

式中：幂指数D即为站点—半径分形维数。

考虑公交站点存在等级差异，在半径为r的区域内，根据等级差异将公交站点分为i等：N0（r）、N1（r）、…、Ni（r），同时由于各等级的公交站点对公交网络的贡献不同，应赋予不同的权重：P0（r）、P1（r）、…、PN（r），则半径为r的区域内，公交站点总数为NW（r）＝P（r）×N（r），则式（1）可变换为：

1.1.2 加权线路—半径模型 同理，假定一个区域内的公交线路也按某种自相似规则围绕中心城区呈凝聚态分布，则半径r的圆周内公交线路数量M（r）与半径r也存在M（r）∝rD关系。但因公交线路长度各异，不同长度的公交线路对区域公交网络的贡献度不同，设其权重依次为P0（r）、P1（r）、…、PM（r），故可构建公交网络加权线路—半径模型：

式中：MW（r）为半径r范围内公交线路加权总数量，幂指数即为加权线路—半径分形维数。

1.1.3 加权公交站点计盒模型 用网格边长为R的方格网覆盖所分析的区域，设其中有公交站点的网格数为X（R），当R变化时，X（R）也随之变化，这样就形成R－X（R）曲线。根据分形理论有下式成立：。通过加权站点等级：，定义加权站点覆盖度为：

式中：Ri和Ri－1分别为第i次和第i－1次细分公交站点网络后的网格边长，XRi和XRi－1分别为第i次、第i－1次细分公交站线网络后有公交站点的网格数，DWRi是加权公交站点分维数。

同时，引入覆盖深度（是相对于Dr＝1.585的临界值r）来描述网络覆盖形态。覆盖深度表示当网络中平均有约3／4的小区内有公交站点存在的最小网格边长，反映出每隔多少距离就有一个公交站点，该指标能深入、具体、直观地描述公交站点的可达性。

根据式（4）计算出公交站点分维值DWRi后，Ri与DWRi将形成一条曲线，它可描述出分维（即覆盖度）随网格边长变化的关系，称为覆盖度曲线。根据最小二乘法拟合出该曲线的方程，表示为：

针对目前我国农村水利的立法工作相当滞后的状况，应在近期的水利立法工作中将农田水利法、农村供水条例列为重点项目，尽快颁布施行；应加快制订节水灌溉补偿及激励办法等法规；同时加快编制县级农田水利建设规划，尽快将农田水利基础设施建设和管理、农村供水工程的建设和管理纳入法制化和依据规划管理的轨道。

式中：A是曲线斜率，S为常数。将临界值Dr＝1.585代入式（5），计算出R值，该值就是公交网络中公交站点的覆盖深度。

1.1.4 加权公交线路－站点异速生长模型 异速生长是城市地理学理论研究中重要的规律，其一般形式为：。式中，αij为标度指数（即异速生长系数）。这个方程具有广义的分形性质，因为标度指数隐含有维数意义。令xi＝N表示公交站点数量，xj＝M表示公交线路数量，将参数α、β表示为a、b，可得：M＝aNb，标度指数b具有维数性质。

结合式（1）－式（3），从分形几何学的角度对公交线路—站点的异速生长关系进行重新解释，可得基于加权的公交网络异速生长分形模型：

1.2 数据处理

1.2.1 测算中心选择与缓冲分析 长江与其最长支流汉江交汇，将武汉市划分为三镇（汉阳、汉口和武昌），故取汉江主航道中心线与长江主航道中心线的交点作为测算中心。虽然测算中心落在江面（半径400m范围内公交线网密度为0），但做缓冲区分析时，是以3km为基准，以3km为间隔将整个武汉市中心城区划分为系列圆形区域（图1）。3km半径范围已覆盖武汉长江大桥、解放大道、武胜路、鹦鹉大道、中山大道、沿江大道、临江大道、武珞路等城市主干道，同时汉口武胜路与解放大道路口及其周边地区是武汉市传统的中央商务区，是武汉市政府所在地，经济发达，道路网络四通八达。

图1 武汉市中心城区公交网络与回转半径Fig.1 The PTN in WCCA and the radial distances

1.2.2 公交站点、线路赋权 采用直线型无量纲化方法对原始数据进行同度量处理，运用 MATLAB7.0熵值赋权法获取不同等级公交站点和公交线路的权重［19］（表1），以避免主观因素带来的偏差，计算每个半径范围内公交站点数量N（r）和公交线路数量M（r），以及加权公交站点数量NW（r）和加权公交线路数量 MW（r）（表2、图1）。

表1 武汉市中心城区公交网络评价指标体系及其权重Table 1 Evaluation index and its weight of PTN in WCCA

1.2.3 加权站点覆盖深度数据处理 利用ArcGIS软件，采用矢量转栅格形式，以50m为起始步长、50m为间隔的标度将研究对象转换为栅格图形式。分别统计边长为50m、100m、150m、200m、250m、300m、350m、400m、450m、500m时各个行政区加权公交站点栅格数目XW（R），将XW（R）和R取双对数并标绘到lgXW（R）－lgR关系图中，最后用最小二乘法进行拟合，直线斜率即是公交站点的覆盖度。根据式（4）和式（5），以起始特征尺度R＝50，以2倍递增（基于可公度性要求）至R＝1 600，选取最佳无标度区间（R2最大），绘制Di随Ri变化的趋势图，用最小二乘法拟出站点R－D方程。将D＝1.585代入方程中，得到武汉市中心城区各行政区的站点覆盖深度（表3）。

表2 武汉市中心城区公交网络常规分形与加权分形站点、线路数量Table 2 The number of bus stops and buslines based on general fractal and weighted fractal model of PTN in WCCA

表3 武汉市中心城区各行政区公交站点覆盖深度Table 3 The covering depth of bus stations of PTN in WCCA

2 武汉市中心城区公交网络的复杂性

2.1 武汉市中心城区公交网络的均衡性

分别对基于常规分形模型和基于加权分形模型的站点－半径、站线－半径进行拟合，即考察区域内公交网络是否具有分形性质，同时比较加权模型相对于常规模型的优越性（表1、图2）。

图2 武汉市中心城区公交网路常规分形与加权分形双对数坐标Fig.2 The log－log plot based on general fractal and weighted fractal model of PTN in WCCA

2.1.1 点列的第一点均偏离下方，测算中心设定合理 无论是常规分形还是加权分形，公交站点和公交线路点列的第一点均不同程度偏离拟合直线，且都位于拟合直线下方（图2），作为测算中心，其附近区域的公交网络半径维数高于区域整体水平，公交线网密集，站点通达性好，是武汉市中心城区的核心枢纽，一方面表明武汉市中心城区公交网络的密度重心很可能位于3km半径范围内，另一方面也说明将汉江主航道中心线与长江主航道中心线的交点作为测算中心较为合理。

2.1.2 分形不具严格意义，存在一定的空间尺度依赖性 按照城市分形演化的时空范围判据［6］：当维数D的标准误差低于临界值δ＝0.04时（相当于模型的拟合度达到0.996以上），即认为城市形态是分形的。不难看出整个空间序列的公交网络分形距离严格意义上的分形判据相差不小，模型拟合度均未“达标”，同时两种模型得出的公交站点和公交线路半径分维值均小于1，远远小于［1.67，1.75］的最优区间。表明在当前武汉市中心城区空间尺度范围内，整个公交网络并未演化成严格意义上的分形，说明空间尺度对分形发育具有重要影响。

2.1.3 公交网络等级层次性明显，公交站点覆盖形态较优 基于加权站点－半径分形模型得出的武汉市中心城区公交站点－半径分维值为0.7841，低于常规分维值（0.8405），说明武汉市中心城区低等级站点数量较多，显示出公交站点等级对公交站点分维值测算影响较大；而加权线路—半径分维值（0.2943）较常规分维值（0.2297）高，表明武汉市中心城区远距离公交线路数量占绝对优势。由此可以看出，加权分形模型测算充分考虑了武汉市中心城区公交网络的等级层次性，能够全面反映常规分形模型无法反映出的结构特征。

2.1.4 公交线路分布向心性显著，呈现出核心－边缘结构 加权线路—半径模型测算出的公交线路分维值为0.2943，明显低于公交站点分维值，表明公交线网分布向心性特征极其显著，网络发育极不成熟。这是因为，公交线网密度与道路网布局结构指数之间具有显著的线性正相关［20］，而武汉市中心城区的主干道主要分布在测算中心6km的半径范围内，势必造成公交线网密度从中心向周边急速下降。公交线路－半径分维值低也在一定程度上反映了武汉市中心城区公交网络在连通性上具有更大的发展空间。

2.2 武汉市中心城区公交站点的可达性

2.2.1 公交站点覆盖形态空间不均，呈现出圈层格局 由图3可以看出，武汉市中心城区及各行政区公交站点的XW（R）－R在双对数图上表现出很好的相关性，拟合优度虽均在0.9以上，但都低于0.996，表明分形发育具有空间尺度依赖。整个武汉市中心城区的站点覆盖度为0.609，各行政区以江汉区最大，为0.7375，其后依次为硚口区（0.6666）、江岸区（0.6596）、武昌区（0.6352）、汉阳区（0.5892）、洪山区（0.5136），最小的是青山区，为0.4436。

图3 武汉市中心城区各行政区公交站点XW（R）、R双对数关系Fig.3 The log－log plot of XW（R）and Rof PTN in WCCA

武汉市中心城区的加权站点覆盖深度为1 676.3m，即中心城区平均每隔1 676.3m就有一个公交站点。中心城区7个行政区中，加权公交站点覆盖深度空间差异显著，可达性最好的是江汉区（为1 215.9m），站点覆盖深度较差的是洪山区（表3）。这表明，公交站点对武汉市中心城区整个空间的填充和占据不够，覆盖形态空间分布不均，受地形和水系等自然条件发育的影响作用明显（尤其是洪山区多湖泊、山地），公交站点覆盖形态较差，存在大量伺服“空隙”和“空洞”。

2.2.2 公交站点可达性与社会经济发展表现出空间共轭性 为进一步探讨各行政区加权公交站点可达性与社会经济发展状况之间的关系，以《武汉市2011年统计年鉴》为数据源，计算各区的人均生产总值、单位面积生产总值及人口密度，将其作为社会经济指标与公交网络分维值的差异进行对比（表4）。据表4，武汉中心城区各行政区的公交站点覆盖度与社会经济发展状况有很好的对应关系，呈现出空间共轭形态，社会经济发展水平越高，公交网络越发达。

表4 武汉中心城区各行政区公交站点盒子分维与社会经济状况Table 4 The value of box dimension of bus stations and the economic condition in each district of WCCA

2.3 武汉市中心城区公交站点－线路异速生长特征

将武汉市中心城区按回转半径（r＝3、6、9、12、15、18、21、24、27）测算出的9对加权站点－线路（NW（r），MW（r））数据标绘在双对数坐标图上（图4）。结果显示，武汉市中心城区公交网络服从异速生长方程，其中标度指数b大于1，表明每增加一个公交站点会增加不止一条公交站线，反之每增加一条公交站线，就增加不到一个公交站点，说明增加的公交线路是在原有站点上重复建设（两条线路经过的站点重复率达100%，如武汉901路内环和901路外环）。这也反映了武汉公交线网重复率过高，公交线网发展存在诸多不协调因素。

图4 武汉市中心城区加权公（交）线路－（站）点双对数坐标Fig.4 The ln－ln plot of weighed MWRand NWRof PTN in WCCA

表5 武汉市中心城区公交网异速生长系数Table 5 The allometric factor of PTN in WCCA

基于武汉市公交线路－站点异速生长分析结果，中心城区公交网络系统优化之公交线路未来发展重点有二：第一，加强6km半径范围外的建设，即增加城郊线路，这些线路以6km半径呈环带放射性分布，所有线路不经过6km半径范围内；第二，适时撤销中心城区重复、拥挤的公交线路，增加短程公交，降低公交线路对城市主干道的依赖性。

3 结论与讨论

3.1 结论

（1）传统交通网络分形研究一般不考虑节点—线路要素的等级特征，这并不意味着交通路网的空间结构与等级组织无关；引入加权分形模型，通过赋权将所有站点、线路折算为同一规格计算的分维值往往较普通（不加权）情况下小，导致这一结果的根本原因是高等级的公交站点（或公交线路）分维值普遍较低等级公交站点（或公交线路）小，表明加权折算后的高等级公交站点（或公交线路）往往对整体分形性质发育具有“放大”效应。通过加权半径维数的计算均表明，武汉中心城区公交网络并未演化成严格意义上的分形，公交网络正处于几何混沌和欧氏几何之间的临界状态，具有空间复杂性。

（2）城乡路网分形存在一定最优区间，但公交网络有别于交通路网，其最优区间（自组织临界值或系统演化的混沌边缘）有待更多的研究确认。半径维数表明，两大维数分维值都小于1，即公交网络整体空间维数还未突破线性拓扑维数，存在一定的线状组织结构。城市公交网络分形系统存在着内部子系统的差异性。加权半径维数表明：公交站点具有较佳伸展结构形态，可以预见随着时间的推移，其发育日臻完善，但加权计盒维数显示，武汉中心城区公交站点具有较大伺服空间效应；公交线路受城市主干道“拖累”，表现出空间分布的集聚和收敛，“核心－边缘”结构突出。

（3）公交网络分形存在一定空间尺度依赖，即在空间上，存在一个无标度区间：尺度太大或太小，自相似性都会出现“溢出”而失效。武汉中心城区公交站点－线路异速生长表明，在6km的半径范围内，公交线路和公交站点呈现出很好的分维匹配关系，公交网络最具多样性和复杂性；在6～27km范围内，公交线路和公交站点建设空间极不匹配，αij一度降到0，公交网络系统结构变得单一。这在一定程度上指明了武汉市公交网络未来发展方向是：重点建设6km半径范围外的城郊线路，同时撤销城内重复线路，增加短程公交，降低对城市主干道的依赖程度，提高公交网络的空间稳定性。

3.2 讨论

（1）分形是演化的分形，是其自组织和他组织机制共同作用、相互影响的结果，而上述讨论的公交网络分维数的计算是静态的，是在某个时间点上的分析（公交时间序列数据难以查询）。因此，如何确定在一段时期内公交网络空间形态的变化状况（即时间序列分维数的确定），并根据一定时期内网络特征的变化规律预测和模拟今后一定时期内网络形态的演化趋势，是值得深究的问题。

（2）尽管注重分维值的空间分析，但空间分异及内在影响机理分析薄弱。分析武汉中心城区公交路网的分形发育特征，一定程度上揭示出公交网络分形发育的空间分异特征，采用相关分析法，尝试揭示这种分异与经济发展水平、人口密度等因素的相关性，但对这种分异规律的内在影响机制分析仍不够。

（3）尽管考虑等级变量的影响，但赋权方法仍不够科学。考虑不同等级影响，通过赋以一定权重，纳入统一尺度进行分维测算，结果更符合客观公交状况，具有更强的可比性；但公交网络评价指标体系有待深入拓展，需要纳入更多的影响因素（如人口密度），同时部分权重的赋值采用主观评价法，有待通过大量时序数据，开展权重赋值算法的革新。

［1］ MANDELBROT B B.How long is the coast of Britain？Statistical self－similarity and fractional dimension［J］.Science，1967，156（3775）：636－638.

［2］ MANDELBROT B B.Fractals：Form，Chance，and Dimension［M］.San Francisco：Freeman，1977.

［3］ 陈彦光，刘继生.区域交通网络分形的DBM特征——交通网络Laplacian分形性质的实证研究［J］.地理科学，1999，19（2）：114－118.

［4］ THIBAULT S，MARCHARD A.Reseaux et Topologie［M］.Institut National Des Sciences Appliquees de Lyon［M］.Villeurbanne，France，1987.

［5］ FRANKHOUSER P.Aspects fractals des structures urbaines［J］.L′Espace Géographique，1990，9（1）：45－69.

［6］ BENGUIGUI L，DAOUD M.Is the suburban railway system a fractal？［J］.Geographical Analysis，1991，23：362－368.

［7］ KIM K S，BENGGUIGUI L，MARINOV M.The fractal structure of Seoul′s public transportation system［J］.Cities，2003，20（1）：31－39.

［8］ 陈彦光，罗静.河南省城市交通网络的分形特征［J］.信阳师范学院学报（自然科学版），1998，11（2）：172－177.

［9］ 陈彦光.一种交通网络的分形维数及其测算方法［J］.信阳师范学院学报（自然科学版），1999，12（4）：426－429.434.

［10］ 张鹏，韩增林.辽宁省公路交通网络的分形研究［J］.交通运输系统工程与信息，2006，6（2）：123－127.

［11］ 刘妙龙，黄佩蓓.上海大都市交通网络分形的时空特征演变研究［J］.地理科学，2004，24（2）：144－149.

［12］ 冯永玖，刘妙龙，童小华.广东省公路交通网络分形空间特征研究［J］.地球信息科学，2008，10（1）：26－33.

［13］ 黄佩蓓，刘妙龙.基于GIS的城市交通网络分形特征研究［J］.同济大学学报（自然科学版），2002，30（11）：1370－1374.

［14］ 柏春广，蔡先华.南京市交通网络的分形特征［J］.地理研究，2008，27（6）：1419－1426.

［15］ 余瑞林，杨华，刘承良.武汉市道路交通网络的分形特征［J］.安庆师范学院学报（自然科学版），2009，15（2）：72－76.

［16］ 冯永玖，刘妙龙，童小华.基于加权长度的交通网络分形维数［J］.复杂系统与复杂性科学，2007，4（4）：32－37.

［17］ 刘承良，余瑞林，曾菊新，等.武汉城市圈城乡道路网的空间结构复杂性［J］.地理科学，2012，32（4）：426－433.

［18］ 张树山，赵淑芝，金俊武，等.基于GIS的公交线网分形评价模型及应用方法研究［J］.中国软科学，2003（8）：127－129.

［19］ 刘承良.武汉都市圈空间发展机理与调控战略［M］.北京：科学出版社，2009.170－171.

［20］ 叶彭姚，陈小鸿，崔叙.城市道路网布局结构对公交线网密度的影响［J］.同济大学学报（自然科学版），2012，40（1）：51－56.