弱下邻及其性质

马晶晶，卢 涛，杜银玲，朱润秋

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

文献[1]中详细地给出了way-below、辅助关系的概念及其相关性质，其中包括way-below的插入性质.王学平等在文献[2]中引入一种关于辅助关系的概念—下邻，本文则根据下邻的相关概念和性质结合way-below关系和辅助关系定义弱下邻这一概念，并在既约元，弱完全并既约元的基础上讨论弱下邻在不同背景下的一些简单性质.

1 预备知识

下面是一些基本的预备知识.

定义1.1[1]设 L是偏序集，x，y∈L，对任意定向集 D⊆L，当 supD存在且 y≤supD时，有 d∈D，使x≤d，称 x way-below 于 y，记作 x＜＜y.当 x＜＜x时称 x是 L 的紧元.用 K(L)= ｛x∈L:x＜＜x｝表示 L 的全体紧元.

定义1.2[2]设 L是偏序集，对于任意给定的 a，b∈L，若 b＜a，且 x∈L，b＜x＜a不成立，则称 b是 a的下邻，记作 b≺a.

性质1.1[1]设 L是偏序集，对于任意的 u，x，y，z∈L，“≺”是 L上的辅助关系，下列结论成立

(1)x＜＜y⇒x≤ y;

(2)u≤ x＜＜y≤z⇒ u＜＜z;

(3)x＜＜y⇒x≺ y.

证明(3)若 L有最小元 0，则0＜＜x，再结合(1)、(2)式，根据辅助关系定义知:x＜＜y⇒x≺y.

定义1.3[2]设 L是并半格，对于任意给定 x，y，a∈L，当 a=x∨y蕴含 x=a或 y=a，则称 a为 L的并既约元.全体并既约元构成的集合记为 J(L).

定义1.4[3]设 L是 dcpo，a∈L，如果对于任意 I∈Idl(L)，由 a=∨I可推出 a∈I，则称 a为 L的弱完全并既约元.全体弱完全并既约元记作 RW(L).

性质1.2[4]设 L 是并半格，对任意 x，y，a∈L，若 x∨y＜＜a，则 x＜＜a 且 y＜＜a，由此易知:若 x∨y≺a，则 x≺ a，y≺ a.

证明假设 x∨y≺a时，存在 b∈L使得 x＜b＜a或 y＜b＜a.不妨设 x＜b＜a成立，则 x∨y≤b∨y≤a与 x∨y≺a矛盾，故假设不成立.

定义1.5[1]设 L是dcpo，辅助关系“≺”称为逼近辅助关系当且仅当集合 S≺(x)=｛u∈L:u≺x｝为定向的且对于任意 x∈L，x=sup｛u∈L:u≺x｝=supS≺(x).全体逼近辅助关系构成的集合记为 App(L).

2 主要结果

定义2.1 设 L为偏序集，对于任意的 a，b∈L，≺为 L上的辅助关系，若 a≺b，且∀x∈L，a≺x≺b不成立，则称 a为 b的弱下邻.记作 a≺'b.

注1 ≺'实际是不满足插入性质的辅关系的特殊情况，规定 x≺'y⇒x≤y.

性……