内部算子空间及其范畴

杜银玲，卢 涛，朱润秋

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

范畴是从数学的各个领域中概括出来的一个高度抽象的数学系统，范畴理论的概念和方法对于解释和阐述抽象概念，确定科学研究框架起重要作用.在拓扑学中，由算子诱导出的拓扑空间是一类很重要的拓扑空间，内部算子作为重要的算子起很关键的作用.文献[1-2]表明，对于某一集合而言，其内部运算和拓扑是一一对应的.另外，崔艳丽和吴洪博[3]把拓扑空间上的闭包算子成功推广到闭包算子空间，并进一步研究其范畴性质.基于对这些知识背景的思考和启发，通过对拓扑空间上的内部算子及其性质的研究，引入内部算子空间，结合范畴理论去讨论内部算子空间范畴.本文通过对拓扑空间上的内部算子及其性质的研究，给出内部算子空间及其之间的连续映射的定义，讨论以内部算子空间为对象及其之间的连续映射为态射而构成的内部算子空间范畴，并证明内部算子空间范畴中的(有限)积的存在性.

1 内部算子空间与连续映射

定义1.1 设 X是一非空集合，I:ξ(X)→ξ(X)是一集值映射，若 I满足条件:

(1)I(X)=X; (2)∀A，B∈ξ(X)，I(A∩B)=I(A)∩I(B);

(3)∀A∈ ξ(X)， I(A)⊆A; (4)∀ A∈ ξ(X)，I(I(A))=I(A).则称 I为 X上的一个内部算子，(X，IX)或 X为内部算子空间.

例1.1 设(X，τ)是一拓扑空间，P(X)为 X的幂集，I:P(X)→P(X)的具体定义为:∀A∈P(X)，I(A)=A°，则由文献[1]中内部运算性质知，I为 X上的一个内部算子.

例1.2 设 X是一非空集合，I0:ξ(X)→ξ(X)为一集值映射，如果对∀A∈ξ(X)，I0(A)=A，则 I0为 X上的一个内部算子.

定义1.2 设(X，IX)和(Y，IY)是两个内部算子空间，f:X→Y，如果 f为满射且对于∀A∈ξ(X)，IY(f(A))⊆f(IX(A))，则称 f是从(X，IX)到(Y，IY)的……