计算多自由度弹性体系的最大地震反应

杨晓云 杨卫平 谷明宇

(1.内蒙古科技大学建筑与土木工程学院，内蒙古包头 014010; 2.内蒙古科技大学矿业工程学院，内蒙古包头 014010)

0 引言

目前，对结构抗震设计最有意义的是结构最大地震反应。两种计算多自由度弹性体系最大地震反应的方法:一种是振型分解反应谱法，另一种是底部剪力法。其中前者的理论基础是地震反应分析的振型分解法及地震反应谱概念，而后者则是振型分解反应谱法的简化。

1 振型分解法求解框架的最大底部剪力和最大顶点位移

3层剪切型结构如图1所示，结构处于8度区(地震加速度是0.20g)，Ⅰ类场地第一组，结构阻尼比是0.05。试采用振型分解反应谱法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。

解:该结构是3自由度体系，质量矩阵和刚度矩阵分别为:

即:B3－5.5B2+7.5B－2=0。

由上式可得:B1=0.351，B2=1.61，B3=3.54。

为求第一阶振型，将w1=14.5rad/s代入:

得

则第一阶振型为:

同理得:

根据场地类别、设计地震分组查表得特征周期值:

根据设防烈度、地震影响查表得水平地震影响系数:αmax=0.16，则:

由Fji=Giαjγjφji得:

第一振型各质点(或各楼面)水平地震作用为:

F11=2.0×9.8×0.0976×1.421×0.301=0.818kN。F12=1.5×9.8×0.0976×1.421×0.648=1.321kN。

第二振型各质点(或各楼面)水平地震作用为:

第三振型各质点(或各楼面)水平地震作用为:

则由各振型水平地震作用产生的底部剪力为:

通过振型组合求结构的最大底部剪力为:

若仅取前两阶振型反应进行组合，则:

由各振型水平地震作用产生的结构顶点位移为:

通过振型组合求结构的最大顶点位移为:

若取前两阶振型反应进行组合:

由上述计算可总结:结构的低阶振型反应大于高阶振型反应，振型阶数越高，振型反应越小。因此，结构的总地震反应以低阶振型反应为主，而高阶振型反应对结构总地震反应的贡献较小。故求结构总地震反应时，不需要取结构的全部振型反应进行组合。通过统计分析，振型反应的组合数可按如下规定确定:1)一般情况下，可取结构前2阶～3阶振型反应进行组合，但不多于结构自由度数。2)当结构基本周期T1＞1.5s时或建筑高宽比大于5时，可适当增加振型反应的组合数。

2 底部剪力法求解框架的最大底部剪力和最大顶点位移

结构如图1所示，采用底部剪力法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。

解:由上述计算已求得α1=0.0976，而结构总重力荷载为:

则结构的底部剪力为:

已知:Tg=0.25s，T1=0.433s＞1.4Tg=0.35s。

设该结构为钢筋混凝土房屋结构，则需考虑结构顶部附加集中作用。查表得:

则:ΔFn= δn FEK=0.105×3.659=0.384kN。

则作用在结构各楼层上的水平地震作用为:

由此得结构的顶点位移为:

与振型分解法的计算结果相比，可见底部剪力法的计算结果与振型分解反应谱法很接近。

说明:底部剪力法适用于重量和刚度沿高度分布均比较均匀的结构。当建筑物有局部凸出屋面的小建筑物(如屋顶间，女儿墙，烟囱)等时，由于该部分结构的重量和刚度突然变小，将产生鞭梢效应，即局部凸出小建筑的地震反应有加剧的现象。因此，当采用底部剪力法计算这类小建筑的地震作用效应时，计算按式作用在小建筑上的地震作用需乘以增大系数，抗震规范规定该增大系数取为3。但是，应注意鞭梢效应只对局部凸出小建筑有影响，因此作用在小建筑上的地震作用向建筑主体传递时或计算建筑主体的地震作用效应时，则不乘增大系数。

3 结语

采用振型分解反应谱法计算结构最大地震反应精度较高，一般情况下无法采用手算，必须通过计算机计算，且计算量较大。理论分析表明，当建筑物高度不超过40m，结构以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布较均匀时，结构的地震反应将以第一振型反应为主，而结构的第一振型接近直线，此时可用底部剪力法简化计算。

［1］刘昭培，张韫美.结构力学(下册)［M］.第4版.天津:天津大学出版社，2000.

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