双曲型偏微分方程的变分迭代解法

黄得建，李艳青

(琼州学院理工学院，海南 三亚 572022)

0 引言

二阶双曲型偏微分方程通常有如下形式:

变分迭代算法是何吉欢在广义拉氏乘子法［1］的基础上提出来并进行改进［3］，［2，4］中作者成功的将此法应用到一些模糊方程问题，［5］中作者将这种方法应用于生物反应模型，［6，7］分别给出了这种方法的理论依据.下面应用［3］中改进的变分迭代算法来找一类双曲型偏微分方程的精确解.

1 双曲型偏微分方程及解法分析

考虑下面的二阶偏微分方程:

其中a，b，c，f 都是关于(x，y，p)的函数，其中p=(u，ux，uy).若对任意的(x，y)，都有b2-ac＞0 成立，则式(1)是一个双曲型方程.

考虑双曲型偏微分方程(1)及定解条件:

或

假定式(1)中的系数与ux，yy和u 无关.若定解条件为式(2)，则由变分迭代算法，可在y 一方向上构造解的校正泛函如下:

其中c≠0.应用变分迭代算法，可近似识别:λ1=η-y

假定初始近似解为

由［3］中改进的变分迭代算法，可以得到式(1)解的迭代公式如下:

同理，若定解条件为式(3)，由变分迭代算法，可在方向上构造解的校正泛函:

其中a≠0.应用变分迭代算法，可近似识别:λ2=ξ-x

假定初始近似解为

可以得到式(1)解的迭代公式如下:

2 应用

变分迭代算法可以准确的得到上述线性双曲型偏微分方程的精确解，以下用几个例子来说明.

例1 考虑如下方程［8］:

定解条件为:

式(6)可改写为:

由变分迭代算法，可以构造y 一方向上解的校正泛函如下:

应用变分迭代算法，可近似识别:λ=η-y

假定初始近似解为:u0(x，y)=f(x)+g(x)y=3x2，

由式(4)，可以得到解的迭代公式如下:

将u0(x，y)=f(x)+g(x)y=3x2代入上式，得

如表1，健康志愿者的rCBF比值范围为（1.013±0.079），ASL图左右对称，未见明显的异常灌注区；患者中TIA发作患者有15例，大面积梗塞患者11例，小面积梗塞患者14例，rCBF比值范围为（0.764±0.117），两组数据对比组间差异具有统计学意义（P＜0.05）。

此为式(6)在满足定解条件u(x，0)=3x2，uy(x，0)=0 时的精确解.

例2 考虑如下方程［8］:

定解条件为:

式(7)可改写为:

由变分迭代算法，可以构造方向上解的校正泛函如下:

应用变分迭代算法，可近似识别:

假定初始近似解为:u0(x，y)=f(y)+g(y)x=0，

将u0(x，y)=f(y)+g(y)x=0 代入上式，可得:

此为式(7)满足定解条件u(0，y)=0，ux(0，y)=0 时的精确解.

例3 考虑如下方程［8］:

定解条件为:

由变分迭代算法，可以构造方向上解的校正泛函如下:

应用变分迭代算法，可近似识别:λ=ξ-x

假定初始近似解为:

由式(5)，可以得到解的迭代公式如下:

将u0(x，y)=f(y)+g(y)x=y+x 代入上式，可得:u1(x，y)=x+y

此为式(8)满足定解条件u(0，y)=y，ux(0，y)=1 时的精确解.

3 结论

把改进的变分迭代算法成功地运用到一类双曲型偏微分方程的求解，过程既简单又直观，并且收敛速度很快，计算量小、精确度高，又可以很方便的编程.

［1］M.Inokuti，H.Sekine，T.Mura.General use of the lagrange multiplier in nonlinear mathematical physics，.in:S.Nemat-Nasser(Ed.)，Variational Method in the mechanics of Solids［C］，New York:Pergamon Press，1978，156-163.

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［4］Omid Solaymani Fard，Nima Ghal-Eh，Numerical solutions for linear system of first-order fuzzy differential equations with fuzzy constant coefficients［J］.Information Sciences.2011(181)4765–4779

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