五维旋转带电黑洞的Hawking辐射

赵 仁,马孟森，李怀繁

（山西大同大学物理与电子科学学院,理论物理研究所，山西 大同 037009）

五维旋转带电黑洞的Hawking辐射

赵 仁,马孟森，李怀繁

（山西大同大学物理与电子科学学院,理论物理研究所，山西 大同 037009）

利用Damour-Ruffini方法，对五维旋转带电时空背景下黑洞的Hawking辐射谱与辐射温度进行了研究。在计算过程中，取时空中总能量守恒、总角动量守恒和总电荷守恒，并考虑黑洞辐射粒子对时空的反作用。发现黑洞辐射谱不再是严格的纯热谱，辐射谱与黑洞的Bekenstein-Hawking熵差有关。计算结果表明,不仅黑洞辐射谱满足量子理论的幺正性，而且能给出黑洞辐射的整个过程。

Damour-Ruffini方法；Hawking辐射；能量守恒；角动量守恒

上世纪70年代以前，基于经典物理学的一些原理，人们认为黑洞会吞噬一切入射的物质，甚至光都不能逃出黑洞，这使得黑洞的质量越来越大。自从Hawking[1]给出了一个惊人的证明：“黑洞可以向外辐射粒子，即存在黑洞的Hawking辐射。”这一发现不仅解决了黑洞热力学中存在的矛盾，而且揭示了引力理论、量子力学与热力学之间的内在联系，极大地推动了黑洞热力学的研究，从而构建了基本完整的黑洞热力学理论体系[2，3]。Gibbons和Hawking分别独立证明了黑洞辐射的能量谱是严格纯热谱[4]。Hawking辐射的给出，使人们认识到黑洞不再是恒星演化的最终状态，黑洞将继续演化并最终消失。根据黑洞热力学定律：Hawking辐射温度正比于黑洞的表面引力。因此黑洞的Hawking辐射温度是很低的。一个太阳质量的黑洞，其温度约为10－7K，这样低的温度以目前的实验条件是很难观测到的。当然，如果宇宙中存在原初小黑洞，那么还有望观测到真正的Hawking辐射。因为一般来说黑洞温度反比于黑洞质量，原初黑洞质量比较小，所以有很高的辐射温度。这也意味着这种原初黑洞会在短时间内整个辐射掉，所以观测起来也是很困难的。由于Hawking的证明中未考虑辐射粒子对时空背景的反作用，从而得到的是严格的黑体谱，也就是说仅仅能得到辐射温度这一个参数，不会给出黑洞内部的相关信息，意味着黑洞蒸发完毕，黑洞的所有信息包括幺正性将完全丢失。我们知道信息的丢失意味着纯量子态将衰变成混合态，这是违背幺正性原理的。

2000年，Parikh和Wilczek已经给出了一种半经典的计算黑洞Hawking辐射修正谱方法[5]。其核心是将黑洞Hawking辐射理解成一种量子隧穿效应，势垒强弱取决于辐射粒子自身能量的大小。这种方法的难点在于要寻找一个在视界处表现良好的坐标系。Parikh和Wilczek先后计算了标量粒子穿过Schwarzschild黑洞和Reissner-Nordstrom黑洞的辐射修正谱，所得辐射谱不再是严格的纯热谱，满足幺正性原理且支持信息守恒的结论。人们将这种方法推广到计算各种时空背景下，各类粒子的黑洞Hawking辐射谱[6-37]，均满足幺正性原理且支持信息守恒的观点。

在利用隧穿效应来研究黑洞辐射时，有几个难以理解的问题：第一，Parikh和Wilczek的核心思想是考虑辐射粒子自身引力的作用，将黑洞Hawking辐射看成量子隧穿，黑洞辐射谱对纯热谱的偏离是由于势垒存在而引起的，而势垒的强弱则取决于辐射粒子自身能量；第二，用隧穿效应方法时没有考虑辐射粒子对时空的反作用；第三，将隧穿效应推广到研究旋转黑洞的辐射谱时[20，24，25]，给出的黑洞角动量变化是由于黑洞本身能量变化所引起的，而没有考虑辐射粒子自身转动对黑洞角动量的影响；第四,遂穿效应方法计算Hawking辐射时，可能存在能量不守恒的问题。

本文将从Damour-Ruffini[38，39]方法开始，在时空总能量守恒，总角动量守恒和总电荷守恒的情形下，计算五维旋转带电黑洞的热辐射，得到黑洞的Hawking辐射温度，角速度和电势。将辐射粒子对时空的反作用考虑后，势垒会对辐射粒子产生散射，此时得到的辐射谱偏离黑体谱。在计算中我们取时空的总角动量守恒，这样引起黑洞角动量变化的原因不仅是由于能量的改变，而且辐射粒子转动对黑洞角动量变化也有影响。由于旋转黑洞视界面积是量子化的[40，41]，在计算中我们也得到黑洞角动量量子化这一结论。

1 五维旋转带电黑洞

五维Kerr-（anti）-de Sitter度规[42]的形式为其中

可以看到此度规是由质量参数m，电荷q以及两个独立的旋转参数a和b决定。

Killing矢量为

其在外Killing视界r=r+为零，也就是Δr（r+）=0的最大正根，视界的角速度为

即可得到表面引力2′

和霍金温度

这样，可得到熵为

黑洞能量和角动量分别为[42]

黑洞视界表面上的静电势

黑洞所带电荷

黑洞的态参量满足热力学第一定律

d E=T d S+Ωad Ja+Ωbd Jb+V d Q（12）

由度规（1），可以得到

通过复杂的推导我们可以得到度规分量的逆为：

2 弯曲时空Klein-Gordon方程

弯曲时空背景下带电粒子满足的Klein-Gordon方程为

其中,μ0为标量粒子的质量，e为粒子的电荷。

考虑到对称性，对方程（15）分离变量，令

Φ=exp[-i（ωt-maφ-mbψ）]χ（θ）]R（r）（16）将（13），（14）和（16）式代入（15）式，得

式中

其中，λ为分离变量常数，ω为辐射粒子能量，ma和mb分别为粒子角动量在转轴上的投影。

3 Tortoise坐标变换

引入tortoise坐标变换，其微分形式为

将（20）代入（17）式，得由（21）式知，在黑洞视界外存在势垒，此势垒应该对辐射粒子产生散射。

在黑洞视界附近，Δr（r+）→0，（21）式化为

式中，ω0=Ωama+Ωbmb+Ve，角速度Ωa和Ωb，静电势V分别与（5）和（10）所给出黑洞的角速度和静电势相同。

方程（22）的解为）

计入时间因子，则自黑洞视界r+向外的出射波解）

和出射波解

其中，ν=t+rˆ为Eddington-Finkelstein坐标。由

可知在黑洞视界面r+附近有

式中,κ与（6）式相同,为黑洞视界表面引力。由（27）式可得

于是出射波解可改写为

从（29）式可知，出射波解在黑洞视界面r+奇异，（29）式仅能描述黑洞视界r+外的出射粒子，不能用来描述视界内粒子的出射。

4 解析延拓求解

对于黑洞Hawking辐射，关注的是其出射波，由（29）式知，出射波解在r=r+处奇异，因此需要将Ψout进行解析延拓，以奇点r=r+为圆心，以r-r+为半径，沿下半复r平面作解析延拓，转动-π[38，43，44]，也就是

于是得到视界面r+内的出射波解

（31）式和（26）式分别给出了黑洞内外的出射波解。可得能量为ω，角动量分别为ma和mb，电荷为e的辐射粒子在黑洞视界表面的出射率为

不考虑辐射粒子对时空的反作用，按照文献[34]观点，可得到黑洞辐射到无穷远能量为ω，磁量子数为ma和mb，电荷为e的平均粒子数为）

将N=κ/2π看作辐射温度，（33）式正是玻色子的热辐射谱。由此我们给出了五维带电旋转黑洞的Hawking辐射温度。

从上述计算可知，五维带电旋转黑洞的能量为E，角动量分别为Ja和Jb，电荷为Q。在取辐射粒子能量为ω，角动量分别为ma和mb，电荷为e时，背景时空的总能量为E+ω，总角动量分别为Ja+ ma和Jb+mb，总电荷为Q+e。辐射粒子的能量，角动量和电荷都是黑洞辐射过程中从黑洞中带出的，由此，在辐射前黑洞的能量为E+ω，角动量分别为Ja+ma和Jb+mb，电荷为Q+e。（32）式所给出的辐射粒子在视界面上出射率的表达式，是由黑洞的态参量——辐射温度，角速度和电势以及辐射粒子的态参量——能量，角动量和电荷所表达的，而辐射粒子的态参量则与黑洞无关，因此（32）式中未能体现出辐射粒子对黑洞的反作用。用黑洞的态参量将（32）式中的参量替换为辐射粒子的能量ω，角动量ma和mb以及电荷e，这样就可以描述辐射粒子对时空的反作用。在利用黑洞态参量进行描述时，必须满足时空的总能量、总角动量和总电荷守恒。即

式中△E，△Ja，△Jb和△Q分别为黑洞Hawking辐射前后黑洞能量，角动量和电荷的改变量。将（34）和（12）式代入（32）式，可得出射波在黑洞视界面上的出射率为

Γ=e△S（35）式中△S为黑洞Hawking辐射前后的Bekenstein-Hawking熵差。

我们的结论与前人的结果是一致的[5-37]，且符合量子力学的幺正性原理。在计算中发现：黑洞角动量的变化δJa=ma，δJb=mb，其中ma和mb只能取零或整数，也就是说黑洞角动量是量子化的。

5 讨论

黑洞Hawking辐射的研究一直是黑洞物理学的前沿课题之一，其相关问题的完全解决需要弯曲时空背景的量子理论，甚至量子引力理论，而这一理论目前仍不成熟。人们采用半经典的方法研究黑洞Hawking辐射均得到比较满意的结论，但在具体计算过程中仍存在着困难。诸如用隧穿效应的方法研究黑洞热辐射时，对稳态时空可以得到满意的结果，但对动态时空则不适用。而用Damour-Ruffini方法研究黑洞热辐射，既能求得黑洞的辐射温度、角速度和电势，又能得到黑洞辐射谱。由此可见，用Damour-Ruffini方法可以研究各类时空（包括稳态和动态时空）背景下各种粒子的热辐射。因此，此方法很容易推广到研究复杂时空背景下各种粒子的黑洞Hawking辐射，甚至用来研究动态黑洞。在Hawking辐射的观测上，目前可以间接地通过实验模拟，如声学黑洞、介质黑洞等[45]，由于存在类似的“视界”，这类模拟黑洞同样有“Hawking辐射”效应，也就有温度。这些温度尽管也不高，但是要比真正的引力黑洞的Hawking辐射温度高几个数量级，相应的实验和观测也是可行的。

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〔责任编辑 李 海〕

Hawking Radiation of 5-dimensional Rotating Charged Black Holes

ZHAO Ren,MA Meng-sen,LIHuai-fan
（School of Physics and Electronic Science,Institute of Theoretical Physics,ShanxiDatong university,Datong Shanxi,037009）

We extend the classical Damour-Ruffinimethod and under the condition that the total energy and angularmomentum and electric charge of spacetime are conservative,taking the radiation particle reaction to the spacetime into consideration,we discuss Hawking radiation temperature and spectrum of five-dimensional charged black hole.We obtain that the black hole radiation spectrum is not pure thermal spectrum,which is related with the difference of the Bekenstein-Hawking entropy.We not only derive the radiation spectrum that satisfies the unitary principle in general case butalso display the whole radiation process of the black hole.

Damour-Ruffinimethod；Hawking radiation；energy conservation；anularmomentum conservation；

O421.1

A

2013-01-11

国家自然科学基金[11075098，11175109]；国家自然科学青年基金[11205097]；山西省青年科技研究基金[2012021003-4]；山西大同大学博士科研启动经费[2008-B-06]

赵仁（1956-），男，山西朔州人，博士，教授，研究方向：引力理论。

1674－0874（2013）05－0034－03