一道高考函数题的解法及其推广

2013-09-17 01:14江西省赣州市第一中学彭小明邮编341000
中学数学教学 2013年6期
关键词:奇函数中心对称定义域

江西省赣州市第一中学 彭小明 (邮编:341000)

2013年高考重庆卷文科数字第9题如下:

已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f[lg(lg2)]= ( )

A.-5 B.-1 C.3 D.4

解 因为lg[log210]+lg(lg2)=lg(log210×lg2)=lg1=0,且f(x)+f(-x)=8,

f(x)-4=ax3+bsinx为奇函数,所以f(lg[log210)]+f[lg(lg2)]=8,故选C.

评注 本题考查了形如g(x)=f(x)-C(C为非零常数)为奇函数,求f(t)+f(-t)的值,或已知f(t)的值求f(-t)的值的函数题型.关键求出f(t)+f(-t)的值.

定理 若函数f(x)在定义域D(D关于原点对称)内是奇函数,则在定义域D内任意的x都满足f(-x)+f(x)=0,函数f(x)的图象关于原点O(0,0)中心对称,当函数f(x)的最值存在时,最大值与最小值的和为0.

推广 若函数f(x)在定义域D(D关于原点对称)内满足f(x)-C是奇函数(C为非零常数),则在定义域D内任意的x都满足f(-x)+f(x)=2C,函数f(x)的图像关于点(0,C)中心对称,当函数f(x)的最值存在时最大值与最小值的和为2C.

应用一 当函数f(x)-C是奇函数时,求f(t)+f(-t)的值.

A.-1 B.0 C.1 D.2

解析 由f(x)+f(-x)=2,lg=-lg2,得f(lg2)+f(lg)=2,答案:D.2 (2012年江西卷文数)已知f(x)=sin2(x+)若a=f(lg5),b=f(lg),则( )

A.a+b=0 B.a-b=0

C.a+b=1 D.a-b=1

解析 由f(x)=sin2(x+)=,得f(x)+f(-x)=1,又lg=-lg5,

所以a+b=f(lg5)+f(lg)=1故选C.

应用二 当函数f(x)-C是奇函数时,已知f(t)的值求f(-t)的值.

3 (2012年上海卷文数)已知y=f(x)是奇函数,若g(x)=f(x)+2且g(1)=1,则g(-1)=________.

解析f(x)是奇函数,则g(x)+g(-x)=4,由g(1)=1得g(-1)=3,故填3.

4 (2012年上海卷理数)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=______.

解析 由y=f(x)+x2为奇函数且f(1)=1,得f(1)+12+f(-1)+(-1)2=0,所以f(-1)=-3,又g(x)=f(x)+2,得g(-1)=f(-1)+2=-1,故填-1.

5 (2011年福建卷理数)对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a、b、c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )

A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2

解析 因f(x)-c=asinx+bx为奇函数,所以f(x)+f(-x)=2c,又c∈Z,得f(1)+f(-1)=2c为偶数.故选D.

6 (2008年福建卷理数)函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为( )

A.3 B.0 C.-1 D.-2

解析 由f(x)+f(-x)=2,f(a)=2,得f(-a)=0,故选B.

7 (2008年重庆卷理数)若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( )

A.f(x)为奇函数

B.f(x)为偶函数

C.f(x)+1为奇函数

D.f(x)+1为偶函数

解析 令x1=x2=0得f(0)=f(0)+f(0)+1,即f(0)=-1;

令x1=x,x2=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以f(x)+f(-x)=-2.故选C.

8 (2011年湖南卷文数)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)= 3,则f(2)=________.

解析 由g(x)+g(-x)=18,g(-2)=3,得g(2)=15=f(2)+9,f(2)=6.故填6.

9 (2011年广东卷文数)设函数f(x)=x3cosx+1若f(a)=11,则f(-a)=________.

解析 由f(x)+f(-x)=2,f(a)=11,得f(-a)=-9,故填-9.

应用三 当函数f(x)-C是奇函数且存在最值时,求最大值与最小值的和.

A.0 B.1 C.2 D.4

解析 由f(x)+f(-x)=4,得n+m=4,故选D.

解析 由f(x)+f(-x)=6,得M+m=6.

解析 由f(x)+f(-x)=4024,得M+m=4024.

15.若定义[-2012,2012]上的函数f(x)满足:对于任意x1,x2∈ [-2012,2012]有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2011,且当x>0时有f(x)>2011,f(x)的最大值、最小值分别为M、N,则M+N的值为( )

A.2011 B.2012 C.4022 D.4024

解析 令x1=x2=0,f(0)=2f(0)-2011,得f(0)=2011.

令x1=x,x2=-x,f(0)=f(x)+f(-x)-2011,得f(x)+f(-x)=4022,故选C.

解析 由f(x)+f(-x)=4,函数f(x)在(-∞,0)上有最小值-5,则f(x)在(0,+∞)上的最大值为9.

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