幺正极限附近费米气体反常激发模式的涡旋*

周昱 周青春 马晓栋

1)(江苏科技大学数理学院,镇江 212003)

2)(新疆师范大学物理与电子工程学院,乌鲁木齐 830054)

(2013年3月12日收到;2013年3月20日收到修改稿)

1 引言

得益于实验技术的进步和测量精度的提高,冷原子体系作为一种新颖的可操控宏观量子系统,近来受到广泛关注和重视,已成为物理学重要交叉研究领域.这不仅是由于对该系统本身理论研究的重要性,而且由于冷原子体系,特别是费米原子体系被认为是可从实验角度研究从传统BCS超流到玻色-爱因斯坦凝聚态(BEC)转变的一个重要载体.除已有的分别对BEC和BCS超流这两种体系的研究外,从BCS超流到BEC的转变已被公认为是在实验室条件可控范围内对许多现实物理体系模拟的良好平台[1],例如凝聚态物理中的一些强相互作用问题和天体物理中的一些以往无法通过实验模拟的问题[2].由于冷原子体系的主要研究对象是稀薄原子(分子)体系,相比于普通凝聚态物质具有更好的纯净性和可操控性,且一个重要方面是在这个体系中,原子间相互作用(粒子间散射长度)可以通过外加磁场调节[3],进而使得体系在不同相互作用条件下处于不同超流态.理论和实验针对这一系统进行了大量研究并且仍在继续[2].实验上,利用激光冷却和囚禁技术,可以使得体系的温度低至nK数量级[3].

超流体与普通流体的最大区别除了其通过毛细管的无黏滞性外,是其中可出现量子化涡旋[4],这种量子行为没有经典对应.尽管已有大量有关费米气体的集体激发、自由膨胀、干涉、孤子等方面的结果可以从不同角度揭示体系的超流态性质[5-14],但最有力的说明体系处于超流态的证据却是在该系统中能够产生量子化涡旋[15].已有一些文献利用诸如博戈留波夫-德热纳(BdG)方程来研究体系的不含时性质或静态涡旋[16],但研究体系涡旋的含时演化却更为重要和具有现实意义.本文利用含时密度泛函理论研究零温超流费米气体在幺正极限附近的涡旋行为,给出具有负频率的反常激发模式,这导致了在外势旋转速度小于某一临界值时涡旋的进动.

2 模型

考虑配对的费米气体的基态,其密度ns=n/2(n是原子密度),定义无量纲的相互作用参数η=1/(kFas),其中kF和as分别是费米波数kF=(6π2ns)1/3和s-波散射长度.可以通过如上无量纲相互作用参数η区分不同的超流区域,分别是 BCS(η＜-1),BEC(η＞1)和 BCS-BEC交叉(-1＜η＜1)区域;当η→±∞时系统处于BCS(η→-∞)或 BEC(η→+∞)极限;η=0处称为幺正极限,此时对应于粒子间的散射长度发散(as→±∞),幺正极限附近的费米气体由于处于强相互作用区域且相互作用可调,故而性质尤为引人注意[3].诸多理论和实验研究都显示从BCS到BEC的相变是连续且光滑的,这就表明可以用统一的理论框架描述处于不同超流区域的费米气体.

许多理论研究是利用推广的BCS平均场理论求解体系的涡旋性质,但这些利用不含时BdG方程来研究涡旋的做法无法应用到对含时演化等问题的研究上.考虑到超冷情况下,低能集体激发不可能由于形成单粒子激发而衰减(热激发效应的影响很小),故该体系可以认为是处于超流态.利用含时密度泛函理论,作∫用泛函可写为[7,14]

其中Ψ是超流体序参量,这里的拉格朗日密度为

Hˆ0=-h¯2/2M+Vs为 单[个 费 米 子对 的]哈 密 顿量,谐振子势Vs=Mω⊥2(x2+y2)+λ2z2/2,各向异性参数λ=ωz/ω⊥,费米子对质量 M=2m.(2)式中额外的能量项-ΩLˆz计入考虑是因为假定外势以角速度Ω绕轴转动,角动量算符Lˆz=-ih¯(x∂y-y∂x);µs0,ns0分别为参考化学势和粒子对密度,ns0通常取为费米气体在谐振子中心的密度.µs0= εF0[σ(η0)-η0σ(′(η0)/5)],其中εF0=h¯k2F0/2m,η0=1/kF0as,kF0=6π2ns01/3.将不同大小的不同|η0|内插关于σ(η0)的一些理论渐进表达式,代入可以得到普遍公式σ(η0)=α1-α2arctan[α3η0(β1+|η0|)/(β2+|η0|)],内插参数αi(i=1,2,3)和βj(j=1,2)已由文献[14]给出,有效多方指数也随之可写为 γ=(2σ/3-2η0σ′/5+η02σ′′/15)/(σ-η0σ′/5).

描述Ψ的欧拉-拉格朗日方程可以通过对作用泛函(1)式取极小得到,这样得到描述超流费米气体的序参量Ψ(r,t)所满足的推广的Gross-Pitaevskii(GP)方程这里µs(ns)=µs0(ns/ns0)γ是系统的态方程(化学势),不同的超流区域可以由不同的µs刻画.利用多方近似可在不同超流区得到涡旋激发模式的本征频率和本征值的表达式.实际上,γ随η0的慢变性质使得所研究的相关问题可以得到与实验结果相当符合的解析表达[7-10].

3 涡旋态反常模的动力学及其解

现在考虑在幺正极限附近单个涡旋的动力学演化.为方便起见,引入无量纲变量√ (x′,y′)=(x,y)/R⊥,z′=z/Rz,t′√= ω⊥t,Ψ′=Ψ√/ns0,Ω′=Ω/ω⊥,其中R⊥=h¯/Mω⊥,Rz=h¯/Mωz,如此,将撇号去掉后,拉格朗日密度可以∫重写为

其中

这里 µ˜=µs0/[2π(γ+1)h¯ω⊥],Vtr(r)=(x2+y2+λ2z2)/2,∇ =(∂/∂x,∂/∂y,λ∂/∂z).

假定系统中产生近轴的单个涡旋线,则选取形如[17,18]

的试探波函数描述涡旋的含时演化,系数A(t)满足归一化条件;函数f(r)代表了势阱内远离涡旋核心的涡线,其近似形式为 f(r)=eiφ;函数F(r)描述体系的密度分布;涡旋线和体系的中心位置分别由矢量rv(t)=(xv(t),yv(t),0)和rf(t)=(xf(t),yf(t),0)表示,考虑涡旋的动力学,这里也必须包括凝聚体的速度αx(t)和αy(t).

考虑涡旋和系统整体的运动,假设体系形状较小,也就是系统处于弱耦合极限,于是试探波函数可以取为形如

对展开做近似,取有限项得到

而

至此,得到了在幺正极限附近含单个涡旋的旋转超流费米气体

这里令d=rf-rv及s=2rf-rv,且利用近似C2γ+2≈1-(γ+1)d2.当 γ=1 时 (8)式可以褪化到BEC极限的情形[17,18].从Leff的表达式可得由六个参数表示的六个耦合一阶微分方程,用来描述速度场和体系及涡旋中心的位置.利用消去αx(t)和αy(t)得到两个分别描述位置d和s的方程组如下：

其中频率

上述微分方程描述了系统的运动,所以下面将看到d和s分别与不同的描述涡旋运动的激发模式相联系.我们所关注的是反常模式d的激发.

4 涡旋进动的反常激发模式

反常激发模式对应于涡旋核心绕势阱中心的进动,由当s=0时的d来表示,这首先在BEC中在对博格留波夫方程的研究中被发现[4].(11)式中频率为ωan的模式具有2rf=rv的性质,亦即涡旋距阱中心的位置是凝聚体中心位置的两倍,这同样也对可从限制条件xfyv=xvyf看出.对应的运动方程和方程(10a)形式类似,是一组二维线性微分方程,其通解形如

从上面的解可以看出涡旋核心和体系本身处于进动,小振幅运动rv的大小为rf的两倍.这表明一种动力学不稳定性,这种系统除了在有外加角动量的情况下本性地具有不稳定性.在这种系统中,甚至可以出现具有负频率的模式,使得涡旋在沿外势轴的绕行中不稳定.

图1 外势临界转动频率在不同径向囚禁频率时随粒子间相互作用的变化关系

反常模式的性质与原子间相互作用密切相关,因为由(11)式知其表达式ωan中含有γ(η0),当ωan=0时的临界频率Ωc刻画了系统的相对稳定性,此时涡旋不再进动.考虑配对的40K原子,粒子数目为N=1.3×104,径向囚禁频分别为ω⊥=60,130,270,520×2πHz.图1中显示临界频率Ωc随着系统从BCS往BEC区域过渡的过程中越来越大,最终在BEC区域趋向于定值1.并且,在幺正极限附近,尤其是左侧(BCS区域)随着ω⊥的增加Ωc迅速减小;但是如果考虑BEC端,则可以发现Ωc将逐渐趋向于一个常数值.当η0＞1,这些不同频率的ω⊥对应的曲线最终将重合.还可以发现,BCS区的临界频率比在BEC区的小,而这也和在集体激发的计算和实验中所得到的结果一致.所有的Ωc曲线都趋于同一个值的行为与在BEC情况下得到的结论一致,表明了在BEC中这种反常模式发生的临界频率与ω⊥无关.

如果没有外加角动量(即Ω=0),则ωan=-Ωc,得到逆时针旋转的涡旋解,其负频率由(11)式给出,周期为 T0=2π/|ωan|(在图 2 中给出).这个周期当系统从BCS到BEC转化的过程中逐渐变小,最终在BEC区域趋向于一个定值;并且,当径向囚禁频率增强时,这个周期在BCS区域迅速增加;而在BEC区,当η0＞1时随着不同的径向囚禁频率则很难区分不同曲线的值.当增加外势旋转频率Ω,负的反常模频率逐渐增加并趋向于零,最终在Ω=Ωc处消失.当Ω＞Ωc时,显然运动开始反向,变为顺时针方向.反常模式的频率(周期)在BCS区域比在BEC区域更小(大),这也和已有的集体激发的结果符合.

图2 涡旋周期在不同径向囚禁外势下随粒子间相互作用的关系

5 结论

通过选取适当的试探波函数,本文利用变分法研究了处于幺正极限附近的超流费米气体的单个涡旋随时间的演化行为,得到了反常激发模式的解及其进动,讨论了幺正极限附近反常模式产生的条件.给出了系统囚禁外势的临界转动频率随不同径向囚禁势阱频率的关系,并给出涡旋周期随不同径向囚禁外势下随粒子间相互作用的变化.发现当系统从BCS端过渡到BEC端时,外势的临界转动频率越来越大,并且径向囚禁越大,临界转动频率越小;而涡旋运动的周期则随不同径向囚禁频率在从BCS到BEC转变过程中越来越小.外势的临界转动频率和涡旋的运动周期在BEC端都趋于一个常数.本文给出的费米气体的相关结论在BEC端的结果和已有的BEC结论符合.

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