沥青路面矿料组成设计

朱 福，战高峰，董伟智

（1.吉林建筑工程学院 交通科学与工程学院，吉林 长春 130118；2.吉林大学 建设学院，吉林 长春 130026）

高等级公路沥青路面对面层的要求越来越高，对矿料组成设计要求精度也越来越高。按现行规范中热拌沥青混合料矿料组成设计方法的规定：高速公路和一级公路沥青路面可利用电子计算机的电子表格试配法（简称：表格试配法）进行。高等级公路工程中混合料矿料组成设计常用方法还有正规方程法。将表格试配法与正规方程法单独应用于吉草高速公路沥青路面矿料组成设计时，发现两种方法存在不足：①表格试配法虽然能够在计算机上显示合成级配及级配曲线，再根据目标级配进行随时调整，直至满意为止，但是该方法耗时耗力、工作量大。②正规方程法未考虑设计级配曲线的范围要求，也不能保证计算结果为非负数。针对以上两种方法不足之处，采用两种解决方案：①正规方程法广义逆求解与Microsoft office软件Excel电子表格结合，首先建立正规方程式，利用Matlab7.0中广义逆函数模块（pinv）求取原材料掺配质量比例系数初值，再将初值代入自编Excel电子计算表格进行试配，可迅速得到满意的矿料组成设计值。②引入模糊数学隶属度函数，将线性规划问题化为非线性二次规划问题，利用自编程序模块与Matlab7.0中二次规划函数模块（quadprog）求取矿料组成设计值。

1 问题提出

1.1 已知条件

设计混合料的筛孔种类数为m，设计级配曲线的上限值、下限值及中值，用矩阵表示为

式中：gi1，li1，bi1（i＝1，2，…，m）分别为设计级配曲线上限值、下限值和中值在第i种筛孔的累计通过百分率。

合成矿料的原材料种类数为n，各种原材料的筛分结果用矩阵表示为

式中：pij（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）为第j种原材料在第i种筛孔的累计通过百分率。

1.2 求解的问题

根据n种原材料配制符合设计级配的混合料，即计算合成矿料中各种原材料的掺配质量比例系数，用矩阵表示为

式中：xj1（j＝1，2，…，n）为第j种原材料在合成矿料中所占的质量比例系数。

1.3 解的约束条件

式中：式（6）、式（7）给出合成矿料级配的上、下界范围，式（8）限定原材料掺配质量比例系数之和等于1，式（9）限定计算结果为非负数。

2 解决方法

2.1 正规方程法与表格试配法结合

1）正规方程法广义逆求解。正规方程法基本思想是利用最小二乘原理，不要求合成矿料级配完全满足条件式（6）、式（7），但应使合成矿料各筛孔的筛分量值与目标设计级配偏差平方和达到最小。原材料在合成矿料中所占的质量比例系数应满足的方程式

应用Matlab7.0 广义逆函数求解初值X0表达式

2）表格试配法编制公式。分计筛余百分率ai，在第i种筛孔上的筛余质量占试样总质量的百分率，可求得

式中：mi为存留在第i种筛孔上的试样质量，g；m为风干试样的总质量，g。

累计筛余百分率Ai，第i种筛孔的分计筛余百分率和大于第i种筛孔的分计筛余百分率总和，可求得

式中：a1，…，ai为各筛的分计筛余百分率，%。

通过百分率pi，通过第i种筛孔的质量占试样总质量的百分率，即100与第i种筛孔累计筛余百分率之差，可求得

将式（11）计算得到的初值X0代入式（12）、式（13）、式（14）编制的Excel电子计算表格试配，仅需微小调整即可获得满意的各种原材料掺配质量比例系数。

2.2 二次规划法

1）数学模型。令合成矿料级配在第i种筛孔通过率fi1（X），令Pi＝［pi1，pi2，…，pin］，以fi1（X）代替bi1，式（10）变为

引入模糊数学隶属度函数Ai（fi1（X）），将合成矿料级配在各种筛孔的通过率效果模糊化，其表达式为

令Ui（X）＝Ai（fi1（X））代入式（16），再将式（15）代入式（16）得

其中：

2）程序模块解题步骤。①输入已知数据矩阵：设计级配上限值矩阵G，设计级配下限值矩阵L，设计级配中值矩阵B，原材料的筛分结果矩阵P；②编写程序计算系数矩阵H，F，C；③写出约束条件系数矩阵A，B；Aeq，Beq；LB，UB；④调用二次型规划函数模块quadprog求解X。

3 工程算例及分析

3.1 工程算例

吉草高速公路沥青路面下面层采用的混合料ATB－25。所用原材料为石灰岩及矿粉，种类数n＝6，筛孔种类数m＝13，各原材料的筛分结果，设计混合料的设计级配曲线上限值、下限值和中值见表1。

表1 原材料筛分结果数据及设计级配

3.2 计算结果

1）原材料掺配质量比例系数计算结果。分别采用正规方程法、表格试配方法、二次规划法计算设计混合料中各种原材料掺配质量比例系数，其结果见表2。

表2 原材料掺配质量比例系数计算结果比较

2）合成矿料级配计算结果。根据表2所得各原材料的掺配质量比例系数合成矿料，并分别计算合成矿料的级配，结果如表3所示。

3.3 计算结果分析

由表2可知，正规方程法的计算结果不能满足原材料掺配质量比例系数之和等于1，即式（8）。通过表格试配法微小调整后可迅速得到满足式（8）及其它约束条件的计算结果。由表3可见，虽然正规方程法合成矿料级配与设计矿料级配偏差平方和最小，其中筛孔尺寸为31.5mm 的累计通过百分率计算值为100.75%，超过设计级配曲线上限值100%。

由表2可知，二次规划法的计算结果满足约束条件。由表3可以看出，采用二次规划法的计算结果合成的矿料级配筛孔尺寸为31.5 mm 的累计通过百分率计算值为100.01%超过设计级配曲线上限值100%，但偏差值非常小，实际应用中是可以接受的。二次规划法的计算结果与表格试配法计算结果，两者合成的矿料级配与目标级配吻合的很好，均符合设计要求。

表3 合成矿料级配计算结果（累计通过百分率）／%

4 结论

1）结合吉草高速公路沥青路面矿料组成设计实际经验，提出工程常用的人机对话方式的电子表格试配法存在着耗时耗力、工作量大；正规方程法未考虑设计级配曲线的范围要求，出现原材料掺配质量比例系数和大于1，也不能保证计算结果为非负数的问题。

2）采用正规方程法计算合成矿料的原材料掺配质量比例系数做初值，再将初值代入编制的Excel计算表格，仅需微小调整即可得到满足约束条件的计算结果。该方法公式简单无需编程，具有很好的工程适用性。

3）将模糊数学中的隶属度函数概念引入高速公路沥青路面矿料组成设计中，以设计级配范围为论域，将合成级配在论域上的取值模糊化，将线性规划转变为非线性规划中的二次规划问题，通过编写程序模块与Matlab7.0中的二次规划函数模块相结合，计算得出令人满意的原材料掺配质量比例系数和合成矿料级配。从实例计算看出，二次规划法具有计算速度快，计算结果准确，考虑问题全面的优点，应推广使用。

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