（2+1）维非线性发展方程的对称约化及精确解

李宁, 刘希强, 张颖元

（2+1）维非线性发展方程的对称约化及精确解

*李宁, 刘希强, 张颖元

（聊城大学数学科学学院，山东，聊城 252059）

利用相容性方法，得到了(2+1)维mKdV-KP的非经典对称及相似约化，并进一步得到了该方程的一些新的精确解，包括双曲函数解，三角函数解，有理函数解，椭圆函数解等。

相容性方法；(2+1)维mKdV-KP方程；精确解；对称；相似约化

即

方程(2)的显式解。(2+1)维mKdV-KP方程是基于(2+1)维KdV和(2+1)维KP方程提出的推广。 A. S. Al-Fhaid利用F展开法[10]得到了该方程的雅可比双周期波解，N Taghizadeh等用首次积分法[11]得到了该方程的行波解。文献[4]中作者利用修正的CK直接方法得到了非线性发展方程的对称，从而约化方程，但此方法需要复杂的计算和转化过程。文献[6]中作者利用经典李群方法得到了非线性发展方程的李点对称，也达到约化方程的目的，但此方法在求解生成元时需大量的计算。虽然相容性方法的最终目的同样是寻找非线性发展方程的对称，但该方法能够简化计算过程，并能得到更多新的结果。本文的求解过程恰能说明相容性方法的优越性。

相容性方法的主要思想是假定方程(2)有如下形式

1 (2+1)维mKdV-KP方程的非经典对称

把(3)式带入(2)式，得到

解上述超定方程组可得

2 (2+1)维mKdV-KP方程的对称约化以及显式解

分以下3种情况讨论：

以下用扩展的tanh方法求解方程(12)。假设方程(12)有以下形式的解

则方程(12)的解为

即原方程(2)的解为

为了得到方程(2)更广泛的解，将(12)式积分两次可以得到

由(19)式容易得到

注1：情况1 中还有大量解，这里不再一一列出，而且都是新解。……