多维随机变量函数变量变换法的推广

王凡彬

多维随机变量函数变量变换法的推广

王凡彬1,2

（1. 内江师范学院数学与信息科学学院，四川，内江 641110；2. 四川省高等学校数值仿真重点实验室，四川，内江 641110）

对现行的多维随机变量函数的变量变换法进行了讨论，克服了其要求存在唯一反函数的缺陷。应用密度函数的相关性质等方法，把目前的变量变换法推广到了多值函数的情形，可利用多值函数的一支进行变量变换。扩大了现行变量变换法的应用范围。最后给出了应用。

多维随机变量；变量变换法；多值函数；推广

在求多维随机变量的函数问题中，有多种情形和多种方法。而在维随机变量到维随机变量的变换过程中，变量变换法是一个重要的工具。为方便起见，下面主要以二维连续随机变量到二维连续随机变量的变换为例，探讨函数的密度，更高维情形的讨论是类似的。在现行的教材[1]中，一般是这样对变量变换法进行介绍的：

有连续偏导数，且存在唯一的反函数

其变换的雅可比行列式

若

定理1的证明略。

这个方法也是目前人们研究二维随机变量到二维随机变量的变换的主要方法。这个方法虽然能适用于较多变量变换的情形，但是我们要指出，这个方法是存在一定的缺陷的：主要就是要求（1）式存在唯一的反函数，这个条件过强。我们往往会遇到（1）式的反函数是多值函数的情形。这个时候，定理1就不适用，这必然限制了定理1的应用。

1 主要结果

有连续偏导数，且存在一个反函数