C半群和双参数C半群的指数公式

赵 拓，赵华新，徐 敏

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000）

半群理论是泛函分析领域的一个重要分支，而指数公式又是其中的重要研究内容，文献[1]给出了C0半群的指数公式文献[2]将其推广到双参数C0半群的指数公式T（s，t）x=本研究考虑 C 半群和双参数 C 半群的指数公式.

设X是Banach空间，所有算子都是有界线性算子，B（X）表示X上的有界线性算子全体构成的Banach空间.

1 预备知识

定义1[3]设C∈B（X）为单射算子，如果强连续的有界线性算子族{T（t），t≥0}⊆B（X）满足：

1）T（0）=C；

2）T（s+t）C=T（s）T（t），s，t≥0；

3）‖T（t）‖≤Meωt，t≥0，其中 ω 和 M为常数.则称算子族{T（t），t≥0}为一指数有界的C半群，简称 C 半群，记作{T（t）}t≥0∈G（M，ω）.

定义 2[4]设 C 半群{T（t）}t≥0∈G（M，ω）.C 半群的无穷小生成元定义如下：

这里C-1表示算子C：X→R（C）的逆.

定义3[5]设C为B（X）上的一对一算子，若双参数算子族{W（s，t）}s，t≥0∈B（X）满足：

1）W（0，0）=C；

2）W（s1，t1）W（s2，t2）=CW（（s1，t1）+（s2，t2）），s1，t1，s2，t2≥0；

3）映射（s，t）→W（s，t）x 强连续，∀s，t≥0 及∀x∈X.

则称{W（s，t）}s，t≥0为双参数强连续 C 半群，简称双参数C半群.

定义 4[5]设{W（s，t）}s，t≥0为双参数 C 半群.其无穷小生成元的线性变换φ：R+2→L（X）为其中 A1和 A2分别是单参数 C 半群{W（s，0）}s≥0和{W（0，t）}t≥0的无穷小生成元.即

2 主要结果

定理 1 设{T（t）}t≥0∈G（M，ω）是 X 上以 A 为无穷小生成元的单参数C半群，若C2=C，A（h）x=则对一切x∈X，有

证明 由条件知存在常数M≥‖C‖，ω∈R，使得‖T（t）‖≤Meωt.∀h＞0 有 A（h）=为有界线性算子.故etA(h)是可定义的.因为

所以 A（h）与 T（t）是可交换的.因为

由于 0＜h≤1，故∀x∈D（A），有

令h→0+，则有

定理证毕.

定理 2 设{W（s，t）}s，t≥0是 X上的双参数 C 半群，若C2=C，且下式成立，

则对于一切x∈X，有

证明 设{W（s，t）}s，t≥0的无穷小生成元为（A1，A2）.易知 A1和 A2分别为单参数 C 半群{W（s，0）}s≥0和{W（0，t）}t≥0的无穷小生成元.

因为对于每一个h＞0，A1（h）和A2（h）都是有界的，所以 esA1（h）和 etA2（h）可定义.

因为{W（0，t）}t≥0是单参数 C 半群，存在常数M0≥‖C‖，ω0∈R，使得‖W（0，t）‖≤M0eω0t，故

对于0＜h≤1，有

于是有

由于A1（h）和A2（h）可交换，所以对于一切x∈X，有

由定理1可得

而‖etA2（h）‖与‖W（s，0）‖分别在 s，t的有限区间上一致有界，因此，令h→0+，可得

由A1（h）和A2（h）是有界可交换的，则对一切h＞0，有

所以

定理证毕.

[1]夏道行.线性算子半群及对偏微分方程的应用[M].北京：世界图书出版公司，2006.

[2]蔡亮，宋晓秋，禹晓红.双参数C0半群的指数公式与预解式[J].徐州师范大学学报：自然科学版，2010，28（4）：44—45.

[3]陈文忠.C-无穷小生成元表达式[J].厦门大学学报：自然科学版，1993，32（2）：135—140.

[4]CAO D X，SONG X Q，RONG R.The asymptotic behavior and strong or weak stability for C-semigroup[J].南京大学学报：数学半年刊，2005，5（1）：107—114.

[5]许强.关于双参数C半群的一些结果[J].河南科学，2012，30（11）：1564—1565.