求解Laplace方程Dirichlet问题的一点补充

金启胜

(安庆职业技术学院，安徽安庆246003)

1 预备知识

球域上Poisson公式:

其中:(ρ0，θ0，φ0)是球 BR内一点 y的球坐标;(R，θ，φ)是球面 ∂BR上动点 x的球坐标;γ 是向量x与y的夹角，显然 cosγ =cosθcosθ0+sinθsinθ0cos(φ － φ0).

类似有圆域上Poisson公式:

其中:调和函数 u 在 ∂BR上取值 f(φ)，(r，θ)是圆内一点的极坐标，(R，φ)是圆周上一点的极坐标［1－3］.

2 应用举例

例1［4］求解Laplace方程的Dirichlet问题:

下面进行积分运算，记

如果(a，b)中有点x= ± (2n －1)π，(n=1，2，…)时，必有

令c=a2+r2，d= －2ar，x= φ － θ，又因为0≤ φ ≤π，0≤ θ≤2π，所以有:(1)0＜θ＜π，－π＜x＜π时，

(2)π ＜ θ＜2π，－2π ＜x＜0时，

显然u(r，θ)满足边界条件:

下面给出不用Poisson公式根据边界条件直接求解Laplace方程的Dirichlet问题:

3 结语

我们发现，运用Poisson公式求解Laplace方程的Dirichlet问题相当繁琐，既有积分运算，又有极限运算，但是有不少Laplace方程的Dirichlet问题在求解时，无需运用Poisson公式，只要选取一个合适的调和函数，通过适当数学变形，使它满足边界条件，那么该调和函数就是所求Laplace方程Dirichlet问题的解.

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［2］张慧清，吴小吟，杨小军.数学物理方程与特殊函数［M］.西安:西北工业大学出版社，2005.133－135.

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