奇素数函数及应用

李明玉

(渭南市气象局，陕西渭南714000)

1 奇素数函数V(u)

定义1 如果 U={u|u∈Z，且u≠0，u≠－4ab+a － b，u≠4ab－ a － b，u≠4ab+a+b，a，b∈N}，则

称作奇素数函数，u称作奇素数函数变量.

定理1 给出函数变量 u，u∈Z，如果u≠0，u≠－4ab+a－b，u≠4ab－a－b，u≠4ab+a+b，a，b∈N，则函数的值域构成奇素数全集.

证明 设f(x)=︱4x+1︱为奇数函数，x∈z.

首先证明f(x)=︱4x+1︱包含了所有的奇素数.

当x=0时，f(x)=|4x+1|=1，即它既不是合数，也不是素数;

当x＞0时，f(x)=|4x+1|⇔f(x)=4x+1;

当x＜0时，f(x)=|4x+1|⇔f(x)=4×|x|－1.

设N是正整数，则

N ≡1(mod 4)，N=4x+1;

N≡2(mod 4)，N是偶数，其中只有2是素数;

N≡3(mod 4)，N=4x－1;

N≡0(mod 4)，N没有素数，是偶合数.

由此可见，所有的奇素数都包含在奇数函数f(x)=|4x+1|之中，无一例外.

下面证明，若x∈ Z，x≠0，x≠－4ab+a － b，x≠4ab－ a － b，x≠4ab+a+b，a，b∈N，则f(x)=|4x+1|都是奇素数.

设 f(x)=|4x+1|是奇合数，x≠0，则 ∃y1，y2∈ N，使 f(x)=|4x+1|=y1y2.

由于f(x)为奇数，所以y1，y2均为奇数，即∃a，b∈N，使得y1=4a+1或者4a－1;y2=4b+1或者4b－1.

由于a，b的任意性，所以f(x)=|4x+1|=y1y2只能是下面三种情况之一:

所以，如果f(x)=|4x+1|为合数，则x的值只能为x=－4ab+a－b，或x=4ab+a+b，或x=4ab－ a － b.也就是说，若 x∈ Z，x≠0，x≠－4ab+a － b，x≠4ab－a － b，x≠4ab+a+b，a，b∈N，则f(x)=|4x+1|都是奇素数.

因为u∈Z，u≠0，u≠－4ab+a－b，u≠4ab－a－b，u≠4ab+a+b，所以，函数V(u)= ︱4u+1︱既没有1和奇合数，又包含了所有的奇素数.因此，V(u)=︱4u+1︱的值域是奇素数全集.

2 简化素数函数V(m)

定义2 如果m={m|m∈Z，且m≠0，m≠－6ab+a－b，m≠6ab－a－b，m≠6ab+a+b，a，b∈ N}，则

称作简化素数函数，亦称作不小于5的素数函数，m称作简化素数函数变量.

虽然函数V(m)比奇素数函数V(u)少了奇素数3，但在使用中就方便多了.与奇素数函数V(u)相比，简化素数函数V(m)在函数值域相同的情况下，其函数变量的定义域的取值范围却显著缩小，因此，在实际计算中，工作量明显减少，数字越大越明显.所以，将函数(2)称作简化素数函数.

定理2 给出函数变量m，m∈Z，如果m≠0，m≠－6ab+a－b，m≠6ab－a－b，m≠6ab+a+b，a，b∈ N，则函数的值域是不小于5的素数集合.

证明 设f(x)=|6x+1|是奇数函数，x∈Z.

首先证明f(x)=|6x+1|，包含了除2和3之外的所有素数.

当x=0时，f(x)=|6x+1|=1，即它既不是合数，也不是素数;

当x＞0时，f(x)=|6x+1|⇔f(x)=6x+1;

当x＜0时，f(x)=|6x+1|⇔f(x)=6×|x|－1.

设N是正整数，则

N ≡1(mod 6)，N=6x+1;

N≡2(mod 6)，N是偶数，其中只有2是素数;

N≡3(mod 6)，N是能被3整除的数……