最大熵拟合概率密度函数在可靠度计算中的应用

汤保新 潘永强 路培国

(1.扬州大学土木工程系，江苏 扬州 225127;2.江苏省建筑设计研究院，江苏 南京 210000)

结构可靠度计算常用的方法有一次二阶矩法［1］，有条件则采用高次高阶矩法以提高计算精度，如二次二阶矩法与二次四阶矩法，这类方法需要计算功能函数的偏导数，计算采用迭代法，计算结果为可靠指标，不是直接的失效概率，而且随着功能函数的非线性程度的增大，计算精度有所减小。结构可靠度的计算也采用蒙特卡罗法，计算量大，一般用于各种可靠度近似方法的校核。当极限状态函数有显式表达式而且随机变量不多的简单情况，亦可采用数值积分法，但当失效区域是一般不规则或是多连通或不连通的独立区域时，数值积分法亦有一定困难。如果可以求得极限状态函数的前几阶矩(一般为四阶矩或五阶矩)，则可采用拟合概率密度函数方法近似计算失效概率。拟合的函数有最大熵密度函数［2］和多项式密度函数［3］，前者物理意义明显，计算较复杂，后者没有直接的物理背景，计算较简单。

本文对极限状态函数求得前几阶矩，再用最大熵法拟合其概率密度函数，近似计算失效概率。

1 近似计算失效概率的步骤

1.1 极限状态函数的前几阶矩

已知极限状态函数为Z=g(X)=g(x1，x2，…，xn)，随机向量X的概率密度函数为f(X)，则Z的各阶原点矩为:

式(1)可通过数值积分求得。f(X)可视为权函数，采用高斯积分法，计算效率和精度较高。如正态分布、指数分布、均匀分布，相应的权函数为 e－x2，e－x，1，可分别选高斯·埃尔米特(Gauss-Hermite)、高斯·拉盖尔(Gauss-Laguerre)、高斯·勒让德(Gauss-Legendre)积分点。

显然，这里规定m0=1是合理的。

1.2 用概率分布函数的多项式逼近极限状态函数

根据最大熵原理，极限状态函数的概率密度函数为:

式(2)中a0，a1，…，aN为待定系数;N为矩的最大阶数，一般取4～5阶矩即能获得良好的效果［2］。

这里，z的各阶原点矩也可采用积分形式表示为:

式(3)中待定系数有N+1个，方程有N+1个。

式(3)为非线性方程组，可转化为无约束优化问题，采用优化算法求解:

式(4)中ωk为加权系数，为使式(4)各项的量纲一致，可取ωk=。

优化算法的初始点可按正态分布给出，即:

解出待定系数，就可以得到概率密度函数。

1.3 计算失效概率

对式(2)积分得到极限状态函数的失效概率:

注意，实际问题的解应与用中心点法计算的可靠指标的近似值 β≈μz/σz，按正态分布换算的失效概率 Φ－1(－ μz/σz)相差不会很大。

2 简单算例

例1:已知非线性极限状态方程g=567fr+0.5H2=0。f服从正态分布，μf=0.6，δf=0.131;r服从正态分布，μr=2.18，δr=0.03;H服从对数正态分布，μH=32.8，δH=0.03。试求失效概率［1］。

1)用数值积分求极限状态函数的前4阶原点矩:

2)经计算，待定系数初始值为:

用优化算法求出待定系数:

3)求失效概率。这里的积分下界限取为μz－5σz=－320.870 9。失效概率Pf=0.025 951(换算为可靠指标β=1.944 0)。

作为对比，采用4阶原点矩计算的结果见表1。

例2:已知极限状态方程 g=1.8 － x1－ x2=0，其中，x1，x2∈［0，1］，其联合概率密度函数为 f(x1，x2)=2－x1－x2。试求失效概率［1］。

计算方法同例1，结果列于表1中。

表1 计算结果汇总表

3 结语

本文采用数值积分求得极限状态函数的前几阶矩，拟合极限状态函数的概率密度，求解失效概率。计算表明:1)采用四阶矩与五阶矩的计算结果相差不大，所以实用中可以采用四阶矩。2)数值积分的界限一般取为μ±5σ，即可满足工程精度要求。3)与多项式拟合法相比，计算精度变化较小，数值较稳定，所以适用性较好。

［1］赵国藩，金伟良，贡金鑫.结构可靠度理论［M］.北京:中国建筑工业出版社，2000.

［2］章 光，朱维申，白世伟.计算近似失效概率的最大熵密度函数法［J］.岩石力学与工程学报，1995(8):18-19.

［3］邓 建，李夕兵，古德生.结构可靠性分析的多项式数值逼近法［J］.计算力学学报，2002(11):26-30.

［4］李庆扬，王能超，李大义.数值分析［M］.武汉:华中工学院出版社，1982.

［5］王淑云，方保镕，王如云.数值分析方法［M］.南京:河海大学出版社，1996.