利用特征线法求解方程ut＋b·Du＋cu＝f（x，t）的初值问题

吴建成 王平心

（江苏科技大学 数理学院，江苏 镇江 212003）

0 引言

1）初值问题

其中，c∈R1，b＝（b1，b2，…，bn）∈Rn都是常数。 x＝（x1，x2，…，xn）是 n维空间变量，t是时间变量 Du＝（ux1，ux2，…，uxn），g（x），f（x，t）是已知函数。

2）分析

上述初值问题中的方程(1)是一阶非齐次线性偏微分方程，在大多数常微分方程和偏微分方程教程中，一阶偏微分方程通常受到简单的处理，原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程。实际上，一阶偏微分方程在变分法、质点力学和几何光学中都出现过，在流体力学、空气动力学和其它工程技术等领域有着广泛的应用。例如在种群分析中，个体（不必是生物体，如生产的产品如灯泡、晶体管、食品或更一般的任一类似的物品的集合）根据统计样本随着时间的变化会变得不合格，因此研究一阶偏微分方程有着实际意义。

一阶偏微分方程的特点是：其通解可以通过解一个常微分方程组而得到，称这种求解方法为特征线法[1]。而高阶偏微分方程和一阶偏微分方程组没有这个特点。特征线法是一种重要又实用的方法，利用该方法证明了半有界弦振动的一维半线性波动方程的间断初边值问题的分片光滑解的全局存在性定理[2]；用该方法给出了一类仓库货物储存模型解的递推表达式，并证明其光滑性从而得到了经典解的唯一性[3]；通过运用特征线法，讨论了无粘性Burgers方程柯西问题解的衰减估计，并给出了证明[4]；运用特征线法给出了Born-Infeld方程的显式表示[5]等等。……