E-稠密半群上的最小群同余

杨 燕

（商洛学院 数学与计算科学系，陕西商洛 726000）

设S是半群，用E(S)表示S的幂等元集合,Reg(S)表示S的正则元集合。称S为E-反演半群，如果S中的每一个元素a，存在x∈S，使得ax∈E(S)。半群S称为E-半群，如果E(S)形成S的一个子半群。近年来人们对E-反演E-半群，即幂等元形成子半群的E-反演半群的研究非常热衷，Weipoltshammer[1-2]研究了E-反演E-半群的一些基本性质和其上的几类特殊同余；Srinivas[3]给出了E-反演E-半群的若干等价刻画；Siripitukdet等[4-5]对E-反演E-半群的最大幂等元分离同余和带同余进行了研究。半群S称为E-稠密半群[6]，如果S是E-反演半群且幂等元相乘可交换。事实上，在E-稠密半群S中E(S)是半格。在文献[7]中已经研究了E-稠密半群的局部化，证明了E-稠密半群的局部化同构于其最大群同态象，本文主要利用E-稠密半群局部化的结论，给出了E-稠密半群上的最小群同余的一个表示及若干等价刻画，从而极大地丰富了E-稠密半群上的最小群同余的刻画，在对强π-逆半群[8]和逆半群[9]上一些结果进行推广的同时，也获得了强π-逆半群和逆半群上最小群同余的一些新的结论。文中未加以定义的概念和记号，见文献[9-10]。

设S是半群，对任意a∈S，若存在x∈S，使得x=xax，则称x是a的弱逆元，简称弱逆。用W(a)表示a的所有弱逆的集合，即W(a)={x∈S|x=xax}。由文献[11]知，半群S是E-反演半群当且仅当S中的每个元素至少有一个弱逆元，即对任意的a∈S，W(a)≠Ø。

半群S上的同余σ称为S上的最小群同余，如果S/σ是群，且对于S的任意群同余ρ，有σ⊆ρ。这时，S/σ 是 S 的最大群同态象[8]；反之，如果S′是S的最大群同态象，则同态核就是S的最小群同余。

1 引理

引理1[2]设S是E-半群，则

i）对任意 a∈S，a′∈W(a)，e，f∈E(S),有 ea′,a′f,ea′f∈W(a);

ii）对任意 a∈S，a′∈W(a)，e∈E(S)，有a′ea,aea′∈E(S);

iii）对任意 e∈E(S)，有 W(e)⊆E(S);

iv）对任意 e,f∈E(S)，有 W(ef)=W(fe)。

引理2[7]设S是E-稠密半群，则S在幂等元半格E(S)上的局部化S[E(S)-1]是S的最大群同态象。

注：S[E(S)-1]=(S×E(S))/～=｛a/e|a/e 表示（a，e）所在的等价类，其中取定 e∈E(S)，∀a∈S｝。

2 定理及其证明

定理1 设S是E-稠密半群，E(S)为S的幂等元半格，则二元关系

σ={(a，b)∈S×S|(∃f∈E(S))af=bf}是S上的最小群同余。

定理1的证明 由引理2的注知S[E(S)-1]关于同态 λ：S→S[E(S)-1]，a|→a/e 是 E-稠密半群 S的最大群同态象，则λ的核就是S的最小群同余，λ的核为

所以 σ={(a，b)∈S×S|(∃f∈E(S))af=bf}是 S 上的最小群同余。

定理2给出了E-稠密半群S上的最小群同余的10条等价刻画。

定理2 设S是E-稠密半群，σ是S上的最小群同余(σ的定义见定理1)，则对任意的a，b∈S，下列各款等价

1)aσb；

2)(∃e∈E(S))ea=eb；

3)(∃e，f∈E(S))ea=fb；

4)(∃e，f∈E(S))ae=bf；

5)(∃e∈E(S))eae=ebe；

6)(∃x∈Reg(S))xa=xb；

7)(∃x∈Reg(S))ax=bx；

8)(∀e，f∈E(S))(∃g∈E(S))aeg=bfg；

9)(∀e，f∈E(S))(∃g∈E(S))gea=gfb；

10)(∀e，f∈E(S))(∃x∈Reg(S))aex=bfx；

11)(∀e，f∈E(S))(∃x∈Reg(S))xea=xfb。

定理 2 的证明 1)⇒2)设 aσb，则存在 f∈E(S)，使得 af=bf。设 a′∈W(a)，b′∈W(b),由引理 1 的 ii）知 afa′，bfb′∈E(S)，又 S中幂等元相乘可换，则有

bfb′afa′·a=bfb′·bf·a′a=bf·a′a·b′bf=af·a′a·b′bf=afa′·af·b′b=afa′·bf·b′b=bfb′afa′·b

由于 E(S)是 S 的子半群，所以 bfb′afa′∈E(S)。令 e=bfb′afa′，则有 ea=eb。

2)⇒3)显然成立。(只需令f=e即可)

3)⇒4)设存在e，f∈E(S)，使得 ea=fb。对a′∈W(a)，b′∈W(b)，有 b′fb，a′ea∈E(S)。由于幂等元相乘可换，则有

a·a′eab′fb=aa′·fb·b′fb=aa′·bb′·ffb=aa′·bb′·fb=bb′·aa′·fb=bb′·aa′fb=b·b′aa′fb。

由于 E(S)是 S的子半群，所以 a′eab′fb∈E(S)，aa′f∈E(S)，由引理 1 的 ii)知 b′aa′fb∈E(S)，令g=a′eab′fb，h=b′aa′fb，则 ag=bh。

4)⇒1)设存在 e，f∈E(S)，使得 ea=bf。S中幂等元相乘可换，则有

a·ef=aeef=bfef=beff=b·ef

又 E(S)是子半群，所以 ef∈E(S)，令 g=ef，则 ag=bg。

故 1)，2)，3)，4)等价。

2)⇒5)设存在 e∈E(S)，使得 ea=eb。给等式两端同时乘以e，得eae=ebe。

5)⇒2)设存在 e∈E(S)，使得 eae=ebe。设a′∈W(a)，b′∈W(b)，给等式两端同时乘以 bb′aa′，得

根据 S中幂等元相乘可换以及 bb′，aa′，aea′，a′ea，beb′，b′eb 都是 S 的幂等元，等式(1)变为

给等式(2)两端同时乘以 aa′·bb′·e·aea′·b′eb，并令此幂等元为f，有

左端=aa′·bb′·e·aea′·beb′·bb′·aea′·e·a=aa′·bb′bb′·ee·aea′aea′·beb′·a=aa′·bb′·e·aea′·beb′·a=fa

右端=aa′·bb′·e·aea′·beb′·aa′·beb′·e·b=aa′aa′·bb′·ee·aea′·beb′beb′·b=aa′·bb′·e·aea′·beb′·b=fb

即 fa=fb，故 5)与 2)等价

2)⇒6)设存在 e∈E(S)，使得 ea=eb。由于E(S)⊆Reg(S)，故 6）成立。

6)⇒2)设存在 x∈Reg(S)，使得 xa=xb。取 x′∈V(x)，则 x′x∈E(S)，且 x′xa=x′xb，故 6)与2)等价。

类似可证7）与1）等价。

1)⇒8)设存在 e∈E(S)，使得 ae=be。对任意的h，f∈E(S)，由于 E(S)是半格，令 efh=g，则 g∈E(S)，且ahg=ah·efh=aefh2=befh=bef2h=bf·efh=bfg。

8)⇒1)设对任意的 e，f∈E(S)，存在 g∈E(S)，使得aeg=bfg。给此式两端同时乘以fe，得aeg·fe=bfg·fe。由于S中幂等元相乘可交换，于是该式变为a·egf=b·egf，其中 egf∈E(S)，故 8）与 1）等价。

类似可证9）与2）等价。

10)⇒8)设对任意的 e，f∈E(S)，存在 x∈Reg(S)，使得 aex=bfx。取 x′∈V(x)，则 xx′∈E(S)，且 ae·xx′=aex·x′=bfx·x′=bf·xx′，即 8）得证。

8)⇒10)由于 E(S)⊆Reg(S)，故结论 10)显然成立。

故10)与8)等价。类似可证11)与9)等价。

综上，1)至 11)各款等价，证毕。

注记 作为定理2的推论，当S是强π-逆半群和逆半群时，由于这两类半群都是E-稠密半群，所以定理2中的每一条也都是强π-逆半群和逆半群上的最小群同余的表示刻画，但是需要注意的是，由于逆半群是正则半群，所以在逆半群中Reg(S)=S。

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