减震结构粘滞阻尼器参数优化分析

孙传智，李爱群，缪长青，黎少华，乔 燕

（1.东南大学 混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室，南京 210096；2.宿迁学院 建筑工程系，江苏 宿迁 223800）

粘滞阻尼器是目前高层建筑结构振动控制中应用较多的结构被动控制装置之一。在进行粘滞阻尼器减震设计时，可以通过调整阻尼系数和速度指数取得不同的参数组合达到同样的减震效果，但是不同的参数取值，阻尼器提供的阻尼力相差较大，从而对与其连接的柱内力影响较大，同时阻尼器本身也会出现磨损或损坏，致使减震设计存在不能达到减震要求的隐患［1］。同时粘滞阻尼器的价格主要取决于阻尼力大小，因此在进行粘滞阻尼器减震结构设计时通过粘滞阻尼器参数优化分析，既能保证结构安全，又能尽量降低建造成本，这对于粘滞阻尼器的使用推广尤为重要。目前已对粘弹性阻尼器的参数优化进行了诸多研究［2－5］，而粘滞阻尼器参数优化研究还比较少，目前多依靠经验和试算来确定粘滞阻尼器参数，工作量大。响应面分析方法是一种基于试验设计理论的近似方法，最早由Box等［7］提出，其基本思想是对样本点处的函数响应计算值或试验值，用回归分析法构造一个具有明确表达形式的多项式来表达隐式功能函数。近年来，响应面分析方法已被应用到结构的可靠度评估、模型修正和结构优化［8－12］等方面，其中武和全等［12］将响应面法与试验设计、有限元分析计算等结合起来，对S型薄壁梁的结构进行抗撞性优化设计。笔者将响应面法与有限元分析相结合，构造参数优化目标函数和约束条件，求得非线性粘滞阻尼器参数最优解。算例应用表明该方法在减震设计过程中具有较强的实用性和有效性。

1 粘滞阻尼器计算模型及减震结构非线性分析

1.1 粘滞阻尼器计算模型

国内外学者对粘滞阻尼器力学模型进行了大量研究［13－15］，美国Taylor公司给出的阻尼力通用表达式为：

1.2 减震结构非线性分析

未设置粘滞阻尼器时，原结构的动力平衡方程为：

式中：［M］为原结构质量矩阵；［C］为原结构阻尼矩阵，采用Rayleigh阻尼；［K］为原结构刚度矩阵；［I］为地震动作用的位置向量；｛x｝、｝分别为节点的位移向量、速度向量和加速度向量；为地震动加速度。当结构采用附加方式设置粘滞阻尼器时，结构的动力平衡方程变为：

式中 ［Cd］为阻尼器提供的附加阻尼矩阵。

求解附加粘滞阻尼器减震结构的控制方程时，出于研究目的和提高计算效率的考虑，可以只进行弹性时程分析，采用快速非线性分析法进行分析［17］。该方法是一种将模态叠加法和增量法组合使用来快速求解只含有少量非线性单元的分析方法，该方法可在保证计算精度的前提下快速提高计算速度［18］，通用有限元软件SAP2000可以实现快速非线性分析［19］。

2 基于响应面法的减震结构粘滞阻尼器参数优化方法

2.1 减震结构粘滞阻尼器参数优化数学模型

如前所述，在保证结构安全的前提下，应尽量控制附加阻尼器提供的阻尼力，这样可以降低结构的建造成本，所以在优化设计时以所有粘滞阻尼器提供的阻尼力最小为目标函数，以满足结构正常使用时的层间位移限值作为约束条件，进行粘滞阻尼器的参数优化，具体形式如下：

设计变量：求粘滞阻尼器阻尼系数Cdi和速度指数αi。

目标函数：所有粘滞阻尼器提供的阻尼力之和∑Fi最小，即min（∑Fi）。

约束条件：各层层间最大位移小于限值，即max（│Δi│）＜［Δ］，［Δ］＝5mm；速度指数α满足0.2≤αi≤0.8。

2.2 基于响应面法减震结构粘滞阻尼器参数优化步骤

基于响应面进行减震结构粘滞阻尼器参数优化，首先利用响应面法和有限元分析相结合得到各层层间位移和各阻尼器阻尼力的响应面函数，然后进行参数优化。具体来说分为6个步骤：

1）试验设计。为了确保响应面函数精度，需要以概率论、数理统计和线性代数等为理论基础进行试验设计，常用的试验设计方法有中心复合设计方法和Box－Behnken矩阵抽样设计方法。根据影响减震效果的主要因素，选择粘滞阻尼器阻尼系数和速度指数作为自变量xi（i＝1，2，…，L），各阻尼器所提供的最大阻尼力和层间位移作为因变量ym（m＝1，2，…，n），然后采用 Box－Behnken矩阵抽样法进行试验设计，确定K组样本点。

2）有限元计算分析。根据试验设计的样本点参数值，利用有限元分析软件SAP2000进行计算，得到K组层间位移和各阻尼器最大阻尼力变化值ym。

3）参数筛选。在研究的初始阶段有可能考虑了所有的参数，如果参数很多，则需要进行参数筛选。参数筛选主要采用方差分析方法，其基本思想是将总变异平方和分解为试验因素效应与随机误差所引起的变异平方和，由此构造出方差分析的F检验统计量［20］，找出显著性参数。

4）响应面拟合。将K组自变量及其对应的K组因变量代入式（4），采用最小二乘法估计多项式系数，得到响应面模型函数。

5）响应面函数精度检验。为了验证响应面模型是否可靠，需对其进行精度检验，可采用多重拟合系数R2进行响应面精度检验，如式（5）所示，式中代表响应面模型计算值，yj代表有限元模型计算值，代表有限元模型计算值的平均值。R2判定系数在0～1之间取值，R2值越大，则回归模型就越接近实际情况，如果精度较低则回到第1）步重新进行试验设计。

6）粘滞阻尼器参数优化。以层间位移小于限值作为约束条件，所有粘滞阻尼器提供的阻尼力之和最小作为目标函数，建立粘滞阻尼器参数优化数学模型，运用非线性规划优化方法进行参数优化。

3 算例分析

3.1 算例概况

钢筋混凝土框架结构，5层，层高5m，跨度6m，柱截面为400mm×400mm，梁截面为250mm×500mm。梁柱材料均为C35混凝土，每层梁柱节点处质量为50kN，输入地震波为EL－CENTRO，地面运动加速度峰值为140cm／s2，层间位移最大限值为5mm。有限元模型如图1所示。

图1 算例有限元模型

3.2 层间位移和阻尼力之和响应面函数

采用Box－Behnken样本抽样法进行试验设计，1～5号阻尼器的阻尼系数为xi（i＝1、3、5、7、9），速度指数为xi（i＝2、4、6、8、10）。各层层间位移为Ri（i＝1、2、3、4、5），阻尼力之和为R6，得到165组样本点。

应用数理统计的F检验法分析所选参数对特征频率的显著性，计算各参数的统计特征量的显著性水平P值，当P＜0.05时，则该参数为显著。表1为显著性水平为显著的参数。由表1可以看出，参数x1、x4、x6和x8对所有因变量的影响都显著，参数x2和x3对因变量R1、R2、R3和R6的影响显著，参数x7除了对因变量R2影响不显著外，对其它因变量均显著，参数x9仅对因变量R5和R6影响显著，参数x10对因变量R3、R5和R6影响显著。此外，部分交叉项和二次项对该模型的显著性较参数的影响要小，但为了保证精度，在对试验设计计算得到的样本数据进行二次多项式响应面回归时，采用完全二次多项式函数模型。

表1 显著性检验结果

采用完全二次多项式对该样本值进行响应面回归即可获得各层层间位移及各阻尼器阻尼力与各参数之间的响应面函数模型，通过对各响应面模型进行多重拟合系数R2判定，多重拟合系数R2分别为0.9843、0.9756、0.9867、0.9621、0.9513 和0.9769，均大于0.95，能够满足参数优化的精度要求。图2所示R1残差正态分布概率图，各残差点主体部分呈直线，说明误差呈正态分布。以上分析说明模型拟合度好，利用响应面函数模型精确能够反映各层层间位移、粘滞阻尼器阻尼力之和与各阻尼器的阻尼系数、速度指数之间的关系，从而能够保证后续粘滞阻尼器参数优化的精度。

图2 R1残差正态分布概率图

3.3 粘滞阻尼器参数影响分析

限于篇幅，仅以R1为例利用响应面函数分析粘滞阻尼器参数对结构的影响。图3和图4分别为1号阻尼器和3号阻尼器对R1的影响曲线图，即参数x1和x2、x5和x6对因变量R1的影响曲线图，对于1号阻尼器对R1的影响，从图3可以看出，R1是随着阻尼系数的增大而减小，随着速度指数的减小而减小。但是，从图4可以看出3号阻尼器对的R1影响关系复杂，在速度指数等于0.2时，R1随着阻尼系数的增大而减小；在速度指数等于0.8时，R1随着阻尼系数的增大而增大，反之，在阻尼系数等于30kN·s／m时，R1随着阻尼系数的增大而增大；在阻尼系数等于150kN·s／m时，R1随着速度指数的增大而减小。说明如果3号阻尼器参数选择不合适，有可能使其对R1有放大作用。

图3 x1和x2对R1的交互影响

图4 x5和x6对R1的交互影响

由以上分析可知，各阻尼器之间、阻尼器与结构之间的影响关系比较复杂。阻尼器阻尼系数与速度指数的不同取值组合，对减震结构的减震效果有个最优解的问题，需对阻尼器的参数进行优化设计，即能保证结构安全，又使得建造成本最低。

3.4 粘滞阻尼器参数优化

当确定了响应面模型函数后，以各阻尼力之和最小为目标函数，各层间位移和各参数的取值范围作为约束条件，建立参数优化模型，运用非线性规划优化方法进行参数优化，即可得到非线性粘滞阻尼器的优化参数，优化后的非线性粘滞阻尼器的参数如表2所示。

通过有限元分析和上文所得的响应面函数可得1～5层层间位移和各粘滞阻尼器阻尼力之和，如表3所示。响应面函数预测所得的层间位移和各阻尼器阻尼力之和与有限元分析所得的相差较小，能够满足工程精度要求。

表2 非线性粘滞阻尼器参数优化值

表3 响应面函数预测和有限元分析比较

图5、6为无控结构和减震结构节点6的位移时程曲线图和加速度时程曲线图，从图中可以看出，结构由于设置了粘滞阻尼器，取得了较好的减震效果。

图5 节点6位移时程比较

图6 节点6加速度时程比较

对于非线性粘滞阻尼器阻尼系数和速度指数的取值，选择如表4所示的5种不同方案进行减震效果比较。第1种方案是基于响应面法优化结果；第2种方案是阻尼系数取值150kN·s／m，速度指数为0.2；第3种方案是阻尼系数取值150kN·s／m，速度指数为0.8；第4种方案是阻尼系数取值90kN·s／m，速度指数为0.5；第5种方案是阻尼系数取值30kN·s／m，速度指数为0.2。

表5为5种不同方案下的参数取值所得的层间位移和各粘滞阻尼器阻尼力之和。可以看出，方案2虽然能够满足层间位移限值的要求，但是各阻尼器之和太大，建造成本高；方案3、4、5虽然各阻尼器阻尼力之和较小，但是不能满足层间位移限值的要求。

4 结 语

1）以一榀钢筋混凝土框架结构为例，进行了基于响应面法的非线性粘滞阻尼器参数优化设计。结果表明采用简单的代数公式能够精确拟合设计变量和响应量之间的复杂关系，把复杂问题显式化，并且响应面函数精度检验表明，响应面函数精度高，能够满足优化精度要求。

表4 不同粘滞阻尼器参数取值方案

表5 不同粘滞阻尼器参数取值时的减震效果比较

2）选择阻尼系数和速度指数作为自变量，结构层间位移、阻尼力之和作为响应值，进行响应面函数拟合。研究表明层间位移和粘滞阻尼力之和与非线性粘滞阻尼器参数取值呈现复杂的非线性关系。

3）结合响应面函数模型，建立目标函数和约束条件，进行非线性粘滞阻尼器参数优化，得到了粘滞阻尼器的参数优化值。该方法精度高、计算量小，过程思路清晰，简单易行，避免了凭经验进行参数调整过程中的反复迭代试算。

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