变化背景时空中哈密顿－雅克比方法对粒子隧穿的研究

陈德友

(西华师范大学 理论物理研究所，四川 南充637009)

Parikh－Wilczek 半经典隧穿模型是一种有效研究黑洞霍金辐射的方法［1］．在该模型中，无质量标量粒子的隧穿行为得到真实描述．粒子的隧穿势垒由出射粒子本身提供，粒子出射前后为隧穿势垒的转折点．采用WKB 近似，得到粒子作用量与隧穿率的联系．当变化的背景时空被考虑到，辐射粒子的隧穿率与黑洞Bekenstein－Hawking 熵的变化有关．将该方法推广到有质量粒子的情况，Zhang J Y 等人对一般时空中荷电粒子的隧穿辐射进行了研究［2－3］．另一方面，粒子的作用量可以通过哈密顿－雅克比方法得到［4］．运用该方法，黑洞时空中标量粒子的隧穿辐射被深入研究．在该方法中，变化的背景时空未被考虑，因此，得到霍金温度是标准的温度［5－6］．

在本文中，将考虑变化的背景时空，采用哈密顿－雅克比方法对Demianski－Newman(DN)黑洞时空中标量粒子的隧穿行为进行研究．未考虑变化的背景时空时，标准的霍金温度通过粒子隧穿视界得到．当考虑到变化的背景时空，得到辐射粒子的隧穿率与黑洞Bekenstein－Hawking 熵的变化有关系．该结果与Parikh 等人的结果一致．

1 变化背景时空中粒子的隧穿辐射

DN 黑洞描述稳态旋转的黑洞时空，它的线元给出如下［7］:

其中，

a、M分别是单位质量上的角动量和黑洞总质量． 该黑洞存在内、外两个视界，只关心外视界:rh=M+黑洞熵为由于黑洞旋转，视界附近能层将被拖曳，对研究粒子的隧穿行为不方便，因此，对线元(1)进行拖曳坐标变换

得到:

它表示四维时空中的三维超曲面．将在视界附近考虑粒子的隧穿行为，因此，将线元(4)在视界附近展开得到:

将方程(5)的逆变度规代入哈密顿－雅克比方程得到:

很难直接上述方程求解作用量，为此，对作用量进行变量分离:

Ω=dφ/dt表示角速度，j是粒子的角动量，ω 表示粒子的能量(8)．并将作用量代入方程(7)得到:

直接积分不能得到正确的结果．因此引入固有空间距离:

这里需要注意:粒子是沿椭球轨道隧穿出视界，因此，在θ 方向上不考虑粒子的运动，这意味着dθ=0 和:

于是，方程(9)表示径向作用量，解得为:

在方程(12)中，存在σ=0 的奇异性，它对应于视界的位置．将径向作用量代入方程(8)，得到出射粒子作用量的虚部为:

利用WKB 近似，粒子的隧穿率得到为:

然而，Parikh－Wilczek 的半经典隧穿模型表明:当考虑到变化的背景时空，粒子的隧穿率应该与粒子出射前后黑洞的Bekenstein－Hawking 熵的变化有关．上面得到的结果并没有显示出该特性．因此，将考虑变化的背景时空，对粒子的隧穿行为重新进行研究．

考虑到变化的时空，固定时空的总能量和总角动量．当一个粒子以能量为ω，角动量为j隧穿出黑洞时，作用量中的质量M和角动量J应该分别替换为M－ω 和J－j．考虑到自引力相互作用，作用量虚部应该写为:

运用WKB 近似和方程(14)，可以得到:

该结果与Parikh－Wilczek 隧穿模型得到的结果一致．因此，通过哈密顿－雅克比方法同样可以得到粒子的隧穿率与Bekenstein－Hawking 熵的变化有关的结果．

2 结语

在本文中，通过哈密顿－雅克比方法对DN 黑洞时空中标量粒子的隧穿行为进行了研究．在讨论中，DN黑洞的标准霍金温度通过标量粒子隧穿视界得到．在Parikh 和Wilczek 的工作中，考虑到黑洞变化的背景时空，粒子的隧穿率与黑洞的Bekenstein－Hawking 熵的变化有关．为了得到该结果，同样考虑变换的背景时空，这意味着作用量需要修改．通过对修改后作用量的计算，得到了与Parikh 等人一致的结果．

［1］ Parikh M P． Wilczek F． Hawking radiation as tunneling［J］．Phys Rev Lett，2000，85(24):5042－5045．

［2］ Zhang J Y，Zhao Z． Hawking radiation of charged particles via tunneling from the Reissner－Nordstrom black hole［J］．JHEP，2005(10):055．

［3］ Jiang Q Q，Wu S Q，Cai X． Hawking radiation as tunneling from the Kerr and Kerr－Newman black holes［J］．Phys Rev D，2006，73(6):64003．

［4］ Angheben M，Nadalini M，Vanzo L，Zerbini S． Hawking radiation as tunneling for extremal and rotating black holes［J］．JHEP，2005(5):14．

［5］ Kerner R，Mann R B． Tunnelling，temperature and Taub－NUT black holes［J］．Phys Rev D，2006，73(8):104010．

［6］ Kerner R，Mann R B． Fermions tunnelling from black holes［J］．Class Quant Grav，2008，25(9):95014．

［7］ Anon A． Classical filed:general relativity and gauge theory［M］．New York:John Wiley Sons，1982:387．