色散方程的两类高效率差分格式

曹俊英，王自强

(贵州民族大学 理学院，贵州 贵阳550025)

对于色散方程的初边值问题的差分格式，近年来的研究成果很多，例如:文献［1－11］，由于最简空间差商，因此这些格式的空间宽度至少为3h，因而显格式至少有一点算不到，而隐格式都是不封闭的．数值求解色散方程的难点在于目前尚无恰当的可匹配的半显格式或显格式来计算其它显格式和半显格式中算不到的那些内边界点或封闭隐格式．这也使色散方程差分格式的并行化尤为困难．如何构造一个空间宽度小于3h且网比较大的差分格式，这是一个长期被关注的问题．在此，本文构造了两类空间宽度分别为h和2h的差分格式，r均可取为任意实数，它们不仅自身的计算效率高，且解决了数值内边界条件的计算问题．也为色散方程差分格式的并行化提供了依据．数值例子验证了理论分析的结果是可行的．

1 差分格式的构造

考虑一维色散方程的初边值问题:

用待定系数法［12］求解此问题，取时间步长为τ，空间步长为h，并令的近似值，差分格式与微分方程有如下关系:

其中e为参数，Lu=ut－auxxx=0．

用以下带参数的差分方程逼近微分方程(1):

其中:

令:

得:

且得差分格式为:

当－c2+c3+2c4=0 时，截断误差E=O(τ+h2)，否则，E=O(τ+h)．

差分格式(6)是解色散方程的隐格式，求解时转化为求一个三对角方程组，不需要附加内边界条件，且当(c2+c4)(c3+3c4)≥0 或c4＞0，c2＞－c4，－6c4＜c3＜－3c4或c4＜0，－c4＜c2＜－2c4，c3＜－3c4时，是对角占优的．

显然，差分格式(6)对任意的|r|＞0 都是绝对稳定的．如果再令c2+c4=0，得c2=－c4，此时有c1=－c3，得差分格式为:

即:

易知，格式(7)也是绝对稳定的，截断误差为E=O(τ+h)．它是迄今为止求解色散方程的计算量最小的差分格式．

2 数值例子

对初边值问题:

已知其精确解为:u(x，t)=cos(x－at)，利用格式(6)得到表1 的数据，其中c2=3．0，c3=1．0，c4=1．0．利用格式(7)得到表2 的数据．表1 和表2 中的值是在节点(jh，nτ)处的误差值，其中

表1 格式(6)的误差Tab．1 The error of scheme (6)

表2 格式(7)的误差Tab．2 The error of scheme (7)

数值例子验证了理论分析的结果．

［1］ 张大凯．求解色散方程的两类带参数的三层显格式［J］．高等数学计算数学学报，1994(1):27－34．

［2］ 张大凯．色散方程的一类具任意稳定性的显格式［J］．计算物理，1994，11(1):85－90．

［3］ 朱少红．色散方程的一个绝对稳定的本性并行格式［J］．天津师范大学学报:自然科学版，2001，21(3):1－4．

［4］ 陈海光，张大凯．关于色散方程的一类二阶恒稳显格式［J］．高等数学计算数学学报，2001(3):255－260．

［5］ 金承日．解色散方程的AGE 迭代方法［J］．哈尔滨工业大学学报，2002，34(6):803－805．

［6］ 花小琴，张大凯．关于色散方程的一种三阶显格式［J］．贵州科学，2004，22(3):72－74．

［7］ Wang W Q，FU S J． Alternating Segment Difference Schemes for Dispersive Equations with Diffusion［J］． Chinese journal Comptational physics，2005，22(1):19－26．

［8］ 王文洽．色散方程的一类新的并行交替分段隐格式［J］．计算数学，2005，27(2):129－140．

［9］ 花小琴，胥德平，胡明．色散方程两层稳定的偏心隐格式［J］．江苏科技大学学报:自然科学版，2007，21(2):34－36．

［10］ 花小琴，张大凯，胥德平． 色散方程两层绝对稳定隐格式［J］．大学数学，2011，27(6):96－99．

［11］ Wang H，Cui S B．Dispersive Estimates for a General Class of Evolution Equations with Variable Coefficients［J］．Advances in Mathematics，2007，36(4):503－512．

［12］ 曹俊英，尹文双，张大凯．解抛物型方程的七点隐格式［J］．湖北民族学院学报:自然科学版，2009，27(1):34－36．

［13］ 陆金甫，关治．偏微分方程数值解法［M］．北京:清华大学出版社，2003．