关于丢番图方程x3－1=481y2

管训贵，钱中秋，余莎莎，陈云芸，曹春芳

(泰州学院 数理信息学院，江苏 泰州225300)

丢番图方程:x3±1=Dy2(D＞0，D无平方因子)，是一类重要的丢番图方程，其整数解已有不少人研究过［1－5］．本文利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell 方程的解的性质证明了．

定理1 丢番图方程:

仅有整数解(x，y)=(1，0)．

引理1［6］丢番图方程x4－3y2=1 无正整数解．

引理2［6］丢番图方程x2－3y4=1 仅有正整数解x=2，y=1 和x=7，y=2．

定理证明:因为gcd(x－1，x2+x+1)=1 或3，故方程(1)给出以下8 种可能的分解:

①x－1=481u2，x2+x+1=v2，y=uv，gcd(u，v)=1;②x－1=u2，x2+x+1=481v2，y=uv，gcd(u，v)=1;

③x－1=13u2，x2+x+1=37v2，y=uv，gcd(u，v)=1;④x－1=37u2，x2+x+1=13v2，y=uv，gcd(u，v)=1;

⑤x－1=1443u2，x2+x+1=3v2，y=3uv，gcd(u，v)=1;⑥x－1=3u2，x2+x+1=1443v2，y=3uv，gcd(u，v)=1;

⑦x－1=39u2，x2+x+1=111v2，y=3uv，gcd(u，v)=1;⑧x－1=111u2，x2+x+1=39v2，y=3uv，gcd(u，v)=1．

以下讨论这8 种情况所给的方程(1)的整数解．

对于情形① 解第二式，得x=0，－1，均不适合第一式，故该情形方程(1)无整数解．

因为u2≡0，1，4(mod8)，利用同余的性质可知情形②，③，④不成立．

对于情形⑤ 将第一式代入第二式得(2v)2－3(962u2+1)2=1，故有:

若n≡0(mod2)，则yn≡0(mod2)，此时式(2)不成立;若n≡3(mod4)，则yn≡7(mod8)，由式(2)知:2u2≡6(mod8)，即u2≡3(mod4)，这也不可能;所以必有:n≡1(mod4)．令n=4k+1(k∈Z)，容易验证下列各式成立:

将n=4k+1 及式(4)～(6)代入式(2)得:962u2=y4k+1－1=2x2k+1y2k，即:

又因为gcd(x2k+1，y2k)=gcd(2x2k+3y2k，y2k)=gcd(2x2k，y2k)=gcd(2，y2k)=2，所以下列情形之一成立:

由式(9)的第二式得:xkyk=b2，考虑到gcd(xk，yk)=1，有xk=s2，yk=t2，故(s2)2－3t4=1，根据引理3 知，s2=1，此时xk=1，则k=0，但由式(9)的第一式知，x1≠26pa2，所以方程(1)无整数解．

由式(10)的第二式得:xkyk=37b2，考虑到gcd(xk，yk)=1，有:

或:

若式(12)成立，则:

由引理2 知，方程式(14)仅有整数解(s，t)= (±1，0)，此时y2k=0，则k=0． 但由式(11)的第一式知，x1≠26a2，所以方程(1)无整数解．

若式(13)成立，则:

由引理3 知，方程(15)仅有整数解(p，s，t)=(7，±1，±2)和(2，±1，±1)，但p=37，不可能．

由式(11)的第二式得:xkyk=13b2，仿式(10)的讨论知，不可能． 故该情形方程(1)无整数解．

对于情形⑥ 将第一式代入第二式得:3(2u2+1)2－481(2v)2=－1，故有3(2u2+1)2≡－1(mod13)，解得u2≡7，5(mod13)．但模13 的Legendre 符号(7/13)=(5/13)=－1，故该情形方程(1)无整数解．

对于情形⑦ 将第一式代入第二式得3(26u2+1)2+1=148v2，则有37v2≡1(mod13)，但(37/13)= (11/13)=(2/11)=－1，故该情形方程(1)无整数解．

对于情形⑧ 由第二式得:

因为方程X2－39Y2=－3 有一个结合类解，其基本解为而Pell 方程U2－39V2=1 的基本解为25，故方程(16)的全部整数解为:

因此有:

但Un为奇数，所以式(17)不成立．故该情形方程(1)无整数解．综上，丢番图方程(1)仅有整数解(x，y)=(1，0)．证完．

［1］ 柯召，孙琦．关于丢番图方程x3±1=Dy2［J］．中国科学，1981，24(12):1453－1457．

［2］ 柯召，孙琦．关于丢番图方程x3±1=3Dy2［J］．四川大学学报，1981，18(2):1－5．

［3］ 罗明．关于不定方程x3±1=14y2［J］．重庆交通学院学报:自然科学版，1995，41(3):112－115．

［4］ 罗明，黄勇庆．关于不定方程x3－1=26y2［J］．西南大学学报:自然科学版，2007，29(6):5－7．

［5］ 韩云娜．关于Diophantine 方程x3－1=38y2［J］．科学技术与工程，2010，10(1):169－171．

［6］ 曹珍富．丢番图方程引论［M］．哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，1989．