含有奇异项的退缩抛物型方程解的整体存在性与有限时刻猝灭性

孙仁斌

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

对于含有奇性的半线性抛物型方程的初边值问题：

本文讨论如下含有奇性的退缩抛物型方程初边值问题：

(1)

本文将对Ω为N维区域的情形进行讨论.

1 解的局部存在性

由于当u=0时，问题(1)中的方程为退缩，经典的抛物方程理论并不能直接给出解的存在性．而对解的存在性的讨论，我们也不需要针对问题的古典解，而只需要问题的弱解，为此先给出问题(1)中方程弱解的定义．

f(u(x,t))φ(x,t)]dxdt.

(2)

则称u(x,t)为方程的弱解．

如果对任意T>0，方程的弱解都存在，则称弱解为整体存在．

关于退缩抛物型方程弱解的局部存在性，有多种方法可以得到[9,10]，在此给出其中一种方法的主要步骤．

对k=1,2,…,考虑如下抛物型方程的初边值问题：

可以证明，如果k1>k2，则T(k1)>T(k2)，且在Ω×(0,T(k2))内有uk1(x,t)>uk2(x,t)．

定理1 设u0(x)>0,u0(x)∈L∞(Ω)，则存在T>0，使问题(1)存在非负的弱解u(x,t)定义在Ω×(0,T)上．

为了得到后面的整体存在性定理，我们需要利用上、下解及其相关的结论．

(4)

则称u(x,t)为问题(1)的一个下解，如果将上面的不等式改变方向，就称u(x,t)为问题(1)的一个上解．

对于弱解，与古典解一样，也有如下的比较原理和存在唯一性定理[12]．

2 解的整体存在性

(5)

(6)

(7)

(8)

定理4 设正常数d满足(8)式，区域Ω充分小，其直径满足(7)式，则问题(1)存在整体解．

3 解在有限时刻的猝灭性

而对于退缩抛物型方程古典解的存在性，也有多种方法可以得到[13]，在此省略．为明确起见，我们先给出问题(1)古典解猝灭的定义．

(9)

设λ1与φ(x)是如下特征值问题的第一特征值与相应的特征函数:

(10)

(11)

我们知道，特征值λ1与区域Ω有关，Ω越大，λ1越小，根据上面的分析，可以得到定理5．

(12)

为了证明(12)式的前一不等式，考虑如下初值问题：

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