高考中的数列推理及其应用

王朝璇

高考对合情推理的考查多以选择题和填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求新的结论. 而数列的内容丰富，应用广泛，其中的推理及其应用问题成为高考中的热点问题.

1. 数列推理在平面几何中的应用

例1 如图，互不相同的点[A1，A2，…，An，…]和[B1，B2，…Bn，…]分别在角[O]的两条边上，所有[AnBn]相互平行，且所有梯形[AnBnBn+1An+1]的面积均相等.设[OAn=an.]若[a1=1，a2=2，]则数列[an]的通项公式是 .

解析 [设△A1B1O的面积为S，] 由所有[AnBn]相互平行，且[a1=1，a2=2，]有[梯形A1B1B2A2的面积为3S].

又所有梯形[AnBnBn+1An+1]的面积均相等，所以[梯形AnBnBn+1An+1][的面积为3S].

由平面几何的性质知，当[n≥2]时，[anan-1=OAnOAn-1][=m+3mn-1m+3mn-2=3n-23n-5]，

所以[anan-12=3n-23n-5]，递推有[an-1an-22=3n-53n-8，][an-2an-32=3n-83n-11，…，][a2a12=4.]

将上述各式左右两边分别累乘后有[ana12=3n-2，]

又[a1=1]，所以[an=3n-2（n∈N*）.]

点拨 由平面几何的性质导出[an]和[an+1]之间的相互关系，然后进行递推，在运算的过程中，要注意整体消元的思想.

2. 数列推理在解析几何中的应用

例2 如图，在区域[{（x，y）|x≥0，y≥0}]内植树，第一棵树在[A1（0，1）]点，第二棵树在[A2（1，1）]点，第三棵树在[A3（1，0）]点，第四棵树在[A4（2，0）]点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一棵树，第2013棵树所在的点的坐标是 .

解析 抓住特殊点的性质，考查区域内的第一象限的角平分线上的整点.

点[A2]的坐标为[（1，1）]，点[A6]的坐标为[（2，2）]，点[A12]的坐标为[（3，3）]，…

又[A2=A1×2]，[A6=A2×3]，[A12=A3×4]，…

而不大于2013且能表示为相邻两个数的积的最大整数为[44×45=1980]，[A1980=A44×45]，即点[A1980]的坐标为[（44，44）].

依图中的规律，应该左移33到达点[A2013]，第2013棵树所在的点的坐标是[（11，44）].

点拨 数列推理在解析几何中的应用往往是考查点的位置问题，解题的关键是抓住特殊点的共性寻找规律，再进行推理.

3. 数列推理在立体几何中的应用

例3 已知经过同……