反证法在解题中的应用

张义华

反证法虽然是在平面几何中出现的，但在其它内容中，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用. 那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？

1. 基本命题

此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效.

例1 求证：两条直线如果有公共点，最多只有一个.

证明 假设它们有两个公共点[A，B]，这两条直线分别是[a，b]，

那么[A，B]都属于[a，A，B]也都属于[b].

因为两点决定一条直线，所以[a，b]重合.

所以命题不成立， 原命题正确，两条直线的公共点最多只有一个.

2. 否定式命题

结论中含有“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于应用反证法.

例2 如图，设[SA，SB]是圆锥[SO]的两条母线，[O]是底面圆心，[C]是[SB]上一点.

求证：[AC]与平面[SOB]不垂直.

证明 假设[AC]⊥平面[SOB]，

∵直线[SO]在平面[SOB]内，∴[AC⊥SO].

∵[SO]⊥底面圆[O]，∴[SO⊥AB].

∴[SO]⊥平面[SAB]， ∴平面[SAB]∥底面圆[O]，

这显然矛盾，所以假设不成立.

即[AC]与平面[SOB]不垂直.

3. 限定式命题

结论中含有“至多”“至少”“不多于”或“最多”等词语的命题.

例3 已知[a，b，c，d∈R]，且[a+b=c+d=1，][ac+bd>1.] 求证： [a，b，c，d]中至少有一个是负数.

证明 假设[a，b，c，d]都是非负数，

∵[a+b=c+d=1，]

∴[a+bc+d=1.]

又[a+bc+d=ac+bd+ad+bc≥ac+bd.]

∴[ac+bd≤1.]

这与已知[ac+bd>1]矛盾.

∴[a，b，c，d]中至少有一个是负数.

4. 惟一性命题

即结果指定惟一的命题.

例4 已知[a≠0，]求证：关于[x]的方程[ax=b]有且只有一个根.

证明 由于[a≠0，]因此方程至少有一个根[x=ba]，

如果方程不只一个根，不妨设[x1，x2（x1≠x2）]是它的两个不同的根.

即[ax1=b]，[ax2=b].两式相减得， [a（x1-x2）]=0.

因为[a≠0]，所以[x1-x2=0]，即[x1=x2]，与[x1≠x2]矛盾，故假设错误，原命题正确.

所以，当[a≠0]时，方程[ax=b]有且只有一个根.

5. 无穷性命……