基于同步的一维混沌离散映射的参数估计方法

刘立东，宋焕生

（长安大学 信息工程学院，陕西 西安 710064）

由于一维离散混沌映射的产生电路简便、易于操作，因此其在电子通信、雷达等工程中的应用越来越广泛[1-6]。工程上对一维离散混沌信号的控制和同步往往建立在准确获得系统参数的基础上，而实际上混沌映射的参数具有未知性和不确定性，很难直接从观测的混沌信号中获得，因此需要一种有效的参数估计方法。

目前已有很多学者对一维离散混沌映射的参数估计进行了研究[7-11]。例如文献[9]，提出了一种改进的“字提升（wordlifting）”方法，这种方法能够从观测信号中快速有效的估计参数，但是其是建立在混沌信号初始值已知的前提下。文献[10]在此基础上提出了一种基于粒子群的参数估计方法，这种方法收敛速度快且不需要获得混沌映射的初始值。不论文献[9]还是文献[10]，这些方法均采用统计的方法而未从混沌的本质特征入手，虽然这些方法收敛速度快，但是其估计精度不高。文献[11]提出了一种“均值估计方法（mean value method，简称 MVM）”，这种方法从混沌的本质特征入手，利用混沌信号各态历经特性，发现了一维离散混沌映射的参数和混沌信号的均值之间存在近似一一对应的单调关系，并通过这种关系进行参数估计，该方法操作简便，估计精度较高。考虑到混沌映射对参数的敏感性，例如在相同初始值条件下，系统参数有细微的调整（比如量级），经过一定次数的迭代，参数调整后的混沌信号和之前的混沌信号呈现出完全不相关的特性。为了更好的对混沌信号控制和同步，需要一种高精度的参数估计方法。

文中在MVM方法的基础上提出了一种基于同步的一维离散混沌映射的参数估计方法，它充分利用了混沌信号各态历经性和混沌同步的参数敏感性，具有高的估计精度。该方法的基本思路如下：首先，利用一维离散混沌映射参数和信号均值的近似一一对应的关系得到系统参数的取值范围；然后在这个范围里利用离散混沌映射同步时的参数敏感性得到精度更高的估计值。虽然本文方法的研究集中在一维离散混沌映射，但是该方法的思想依然可以扩展到多维离散混沌映射中。

1 MVM方法原理

本文方法建立在MVM方法的基础之上，下面先介绍MVM方法原理。

令 f(·)为离散混沌映射方程，θ为定义在[θa,θb]上的系统参数，混沌信号xθ,(n｛｝)为由 f(·)产生的混沌信号，即

文献[11]的作者发现了大多数离散混沌信号的均值函数M(θ)（见式 2）是关于参数 θ的单调函数，

其中N为混沌信号的长度。由于M(θ)是单调函数，那么系统的参数的值θ和M(θ)就一一对应，因此系统参数的估计值θ^可以通过下式得到：

其中M-1表示的逆函数。

但是，本文研究发现M(θ）并不是严格意义上的单调函数。当系统参数θ的采样间隔较大时，M（θ）为单调函数；但是当系统参数θ采样间隔较小时，M（θ）并不是单调函数，这些可以用Chebyshev系统来验证，见图1和图2。图1中当θ以0.05个单位作为采样间隔时，M（θ）呈现出单调递增，这时可以通过式（3）计算得到参数的估计值，估计误差小于0.05。但当θ以0.001个单位作为采样间隔时，M（θ）并不单调，见图2。因此，如果需要更高精度的估计值，需要对MVM方法进行改进。

图1 chebyshev混沌映射中和参数关系图（参数采样间隔为0.05）Fig.1 The relationship between of chaotic sequence generated by Chebyshev map(parameter sampling length is 0.05)

图2 chebyshev混沌映射中和参数关系图（参数采样间隔为0.001）Fig.1 The relationship between of chaotic sequence generated by Chebyshev map(parameter sampling length is 0.001)

2 基于混沌同步的统参数估计方法

为了得到高精度的参数估计值，文中在MVM方法的基础上结合混沌同步特性提出一种新的参数估计方法。

文中方法主要分两步进行。第一步利用离散混沌映射均值函数和参数近似一一对应的关系，获得包含被估计参数真实值的一个小区间；第二步利用离散混沌映射同步参数敏感性在内以小步长间隔采样并进行同步误差比较，选择同步误差最小的参数作为参数的估计值。

本文方法的第一步，即，获得包含被估计参数真实值的一个小区间l的思路如下。

首先，根据式（4）计算观测混沌信号的均值。其中θ0为被估计参数的真实值，xθ0(n)为真实值时的观测混沌信号。从式（4）中可以看出如果观测序列已知，则M(θ0)值为常数。

然后，在被估计参数的取值区间内根据式（5）计算不同参数时混沌信号的均值，其中θi为参数取值区间内的采样值，M(θi)随着 θi的变化而变化，混沌信号的初始值可在混沌信号的值域范围内随机选择。

最后，令 M(θ0)与 M(θi)相交，定义它们的交点间范围为需要的小区间。这个过程可以用图3来描述，图3以chebyshev为例，其中两条纵向虚线间就是 M(θ0)与 M(θi)相交的交点范围，即为需要的小区间l。

图3 和相交后得到的参数估计值的范围（估计值的真实值为，包含于两条纵向曲线决定的区间内）Fig.3 intersects withto define the needed interval(the interval is between the two dot lines for Chebyshev map with）

与MVM方法不同的之处是：在MVM方法中使用式（3）来估计参数的值；而本文是通过式（4）和式（5）得到被估计参数的一个小区间，然后在这个小区间内以小步长采样并通过混沌同步的方法得到参数估计值。下面给出如何通过混沌同步的方法在小区间内得到参数估计值。

考虑两个混沌映射：一个为主控信号，其未知参数为θ0，由式（6）定义；另一个为受控信号，其参数θ^∈l，由式（7）定义。

假设被观测的混沌信号为主控混沌映射产生的信号，为了使受控混沌映射和主控系统同步，需要在受控混沌映射增加一个控制项，见式（8）。

其中 u(n)的表达式见式（9）。

式（9）中k为耦合系数。为了进一步得到精度更高的参数估计值，本文通过式（10）在小区l间内选择参数估计值θ^0，

本文提出的参数估计方法步骤总结如下：

1).通过式（2）计算观测混沌信号xθ0(n｛｝)的均值；

2).通过式（2）和式（3）得到被估计参数值的一个小区间l；

3).通过混沌同步的方法经过式（10）得到参数的估计值。

3 数值仿真实验和结果

为了验证本文参数估计方法的有效性，选取了典型的Chebyshev和Tent一维离散混沌映射做数值仿真实验。Chebyshev和Tent混沌映射表达式分别为x(n)=cos(θcos-1(x(n-1)))，x(n)=θ-1-θx(n-1)，其中 x(n)∈[-1,1]。 仿真中的参数N=2000，在小区间l内的采样步长为10-6，混沌同步耦合系数k=1，参数的真实值在(1.2,2)区间内等间隔的选取16个，参数估计的仿真结果见图4和图5。从图4和图5中可以看出，本文参数估计方法的精度更高，其原因是由于本文方法利用了离散混沌信号参数和均值近似一一对应的关系，并借助混沌同步的参数敏感性来得到估计精度高的值。

图4 文献[10,11]和本文方法对Chebyshev混沌映射参数估计的误差对比图Fig.4 The estimation error of MVM in [10,11]and the proposed method in this paper for Chebyshev map

图5 文献[10,11]和本文方法对Tent混沌映射参数估计的误差对比图Fig.5 The estimation error of MVM in [10,11]and the proposed method in this paper for Tent map

4 结论

文中提出了一种混沌信号的参数估计方法，改方法建立在混沌信号参数值与信号均值近似一一对应和混沌同步参数敏感性的基础上。和已有的方法相比，本文方法的估计精度更高，可以达到数量级10-5。高精度的参数估计为混沌信号的重构和混沌信号的控制奠定了基础。

[1]Hu J,Guo J.Breaking a chaotic secure communication scheme[J].Chaos,2008,18(10):01321(1)-01321(7).

[2]Wang K.Symbolic Vector Dynamics Approach to Initial Condition and Control Parameters Estimation of Coupled Map Lattices[J].IEEE Trans.Circuits and Systems I:Regular Papers,2008,55(4):1116-1124.

[3]Jovic B,Unsworth C.Fast synchronization of chaotic maps for secure chaotic communications[J],Electronics Letters,2010,46(1):1-2.

[4]Liu L,Hu J,He Z.A Velocity Measurement Method Based on Scaling Parameter Estimation of Chaotic System[J].Metrology and Measurement System,2011,18(2):275-282.

[5]Liu L,Hu J,He Z.Chaotic signal reconstruction with application to noise radar system[J].EURASIP Journal on Advances in Signal Processing,2011,1(2),1-8.

[6]Liu L,Hu J,He Z.A Robust Controller for Synchronization of Chaotic System[J].Journal of Optoelectronics and Advanced Materials,2011,13(4),354-358.

[7]Ghosh D.Adaptive scheme for synchronization-based multi-parameter estimation from a single chaotic time series and its applications[J].Physical Review E,2008,78:056211(1)-056211(5).

[8]Tao C,Zhang Y.Jiang J.Estimating system parameters from chaotic time series with synchronization optimized by a genetic algorithm[J].Physical Review E,2007,76:016209(1)-016209(7).

[9]Wang K,Pei W,He Z.Estimating initial conditions in coupled map lattices from noisy time series using symbolic vector dynamics[J].Physical.Letter.A,2007,367(6):316-321.

[10]Gao F,Lee J J,Li Z Q.Parameter estimation for chaotic system with initial random noises by particle swarm optimization[J].Chaos,Solitons and Fractals,2009,42(3):1286-1291

[11]Leung H,Shanmugam S,Xie N.An ergodic approach for chaotic signal estimation at low SNR with application to ultra-wide-band communication[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2006,54(5):1091–1103.