行列式的直观表示与教法探究

蔺 云

(嘉应学院 数学学院，广东 梅州 514015)

行列式的名词是法国数学家柯西引入的；行列式的符号 是19世纪的英国数学家凯莱引入使用的；雅典数学家克莱姆使用行列式，给出了一次方程组求解的简便算法，并给出了一次方程组有解和解的个数问题的判别法(即克莱姆法则).

由于线性代数的主题是线性方程组的求解问题， 从历史上看， 行列式概念是形成于线性代数的开端， 因此，它是线数代数的主要概念．然而，行列式能够使用机械化计算(即对角线法则)的只是二阶、三阶的，对4阶以上的行列式用此法则求值是相当困难的，故需要定义n阶行列式.

现行线性代数教科书中，给出的n阶行列式概念不仅高度抽象，而且结构系统复杂，是线性代数教学的一个难点.由计算二阶行列式的对角线规则，推广到计算三阶行列式的对角线规则，其表达式比较直观，且分别可用二元一次线性方程组与三元一次线性方程组的加减消元法来证明;但是，由三阶行列式的定义推广到n阶行列式，就不那么容易，几乎所有的教科书都是先引入排列、对换、排列逆序数的概念，再与三阶行列式展开每一项的脚下标排列以及每一项的符号相比较，然后构建了由确定各项的元素、各项元素的符号、以及求和总项数这三位一体规则的体系结构.即

缺点是：其间由于运用太多的子概念做插曲，使人对定义生成过程倍感曲折，不是那么自然地引出和直观表达；而且用定义计算行列式，书写起来拖泥带水，例如下面行列式的计算[1]：

(-1)N(4321)a14a23a32a41=(-1)61·2·3·4=24，

式中未交待字母aij是怎样引进的，如果没有它，就不知道(-1)6又是怎么来的．所以，用定义计算行列式的方法也很难掌握.因此， 笔者想到了改写传统 阶行列式定义的表达式，优化教与学，以解决存在于少课时的线性代数课程教学中内容多课时少的矛盾.

仔细琢磨了3阶行列式概念的表达.

但很显然，由于间接侵权制度已经被广泛接受，如果未经专利权人许可而提供这些产品，往往会被认定为侵权，因此专利权人的独占权利范围实际已经及于这些产品。这样，当专利权人同意而售出这些产品时，与其同意售出“专利产品”、“依据专利方法直接获得的产品”没有什么不同，专利权人已经可以从中获得利益。

这样一来，3阶行列式可表示为

(1)

(2)

(3)

再将(1)、(2)、(3)式推广到n阶行列式，就有如下定义与性质.

定义2 由n2个元素aij(i，j=1，2，…，n)组成的记号

称为n阶行列式，其中横排称为行，竖排称为列，它表示所有取自不同行，不同列的n个元素乘积a1j1a1j2…a1jn的代数和，即

推论1

推论2

应用定义2，计算前面的例题，得

总之，数学概念是教学思维的出发点． 概念教学理论强调概念的用处，概念必须看作既是对象又是工具，因而，概念既提供知识又提供使用．[2]所以，从教学的观点评估，这两方面如何才能相辅相成．本定义的优点在于，在概念生成不用排列逆序数的知识，尽管置换的奇偶性的讨论与排列的奇偶性计算类似，需要计算一个n级排列经过相邻对换，变为标准排列的对换次数．但本定义的表达式结构简单，从形式主义观点看，引入符号sgn和置换概念，可以形成特殊的概念形象，用日本数学家黑木哲德的话说：“这就有点像大人带小孩出门，牵着小孩的手走路还没有背着他走来的方便”[3].尤其在线性代数课程设定为少课时的教学中，有化繁为简之效.

[1] 吴赣昌．线性代数[M]．北京：中国人民出版社，2011：9，3-10．

[2] ROLT B，等．数学教学理论是一门科学[M]． 唐瑞芬，译．上海：上海教育出版社，1998:11，62．

[3] 黑木哲德．数学符号理解手册[M]． 赵雪梅，译．上海：学林出版社，2011：8，147-149．