不含预设裂缝的钢筋混凝土梁的数值仿真

朱广富，徐 兵

(盐城工学院 土木工程学院, 江苏 盐城 224055)

0 引 言

结构损伤是引起结构失效的主要原因，而裂纹的出现是损伤的主要表现形式[1]。大量的专家学者从实验角度研究结构的损伤及断裂，并取得一定成果。对于建筑结构，混凝土开裂是一个经典结构损伤问题，伴随着裂缝的扩展会给结构带来不可恢复的损伤，甚至使结构失去承载力。由于混凝土材料抗拉能力约为抗压能力的1/10的特性，在结构设计中应尽量避免使混凝土结构承受拉力作用使其最大限度发挥受压性能[2]。通过众多专家和学者的研究，目前从设计角度总结了大量的设计经验并制定了相关设计规范。

传统有限元方法对结构或者材料开裂通常通过细分网格后利用网格边界模拟裂缝[3]。这种方法必须依靠单元的边界而存在，裂缝的开展只能沿着单元边界进行，对于测裂缝开裂趋势、裂缝的扩展路径都无法准确的判断。此外，密集的单元会造成计算成本增加[4]。

扩展有限元法(XFEM)及其理论的出现，给裂缝的模拟仿真提供了一个新的发展方向。众多的学者也借助于XFEM对工程问题进行了大量的分析，验证了XFEM是一种有效的工程断裂问题的仿真技术。XFEM实现了裂缝在单元内部的任意传播，克服了传统方法的诸多缺陷[5-7]。

1 扩展有限元法

扩展有限元是一种新型的裂缝仿真分析的有限元理论，借助于水平集方法对于裂缝的扩展进行计算和仿真，能精确的描述单元内部的裂缝间断。

1.1 水平集函数

假设图1中f(x)=0是位于两个单元内部的裂缝方程，其形式如图1。

图1 包含裂缝的单元Fig.1 Element with the crack

(1)

当x处于裂缝位置时，f(x)=0，当x处于其他位置时，则根据裂缝的相对位置判断f(x)的正负[8-10]。

1.2 扩充形函数

XFEM中的形函数包括3部分，其主要形式(图2)如下：

(2)

图2 XFEM扩充单元Fig.2 Enriched element of XFEM

1.3 XFEM的基本方程

XFEM求解方程中的最大难点在于对不连续的形函数进行场积分，在有限元中一般采用子区域积分法进行积分，最终的方程形式为：

(3)

式中：u和q指的是单元的节点自由度和由于单元内部的不连续引发的附加自由度；M是质量矩阵；K为整体刚度矩阵，由材料刚度和集合刚度两部分组成[8-10]。

2 混凝土材料

混凝土材料是一种准脆性材料，其特征是对拉应力特别敏感,当材料一经开裂就立即失稳扩展,裂纹尖端进入塑性屈服状态的区域很小。Hillerborg提出了如下假设来分析混凝土的非线性断裂[9]：

1)材料是弹性的，当最大拉应力达到混凝土材料的拉伸强度ft时，裂纹开始产生,切裂缝的方向垂直于最大拉应力方向;

2)混凝土达到拉伸强度产生新裂纹后，裂尖后存在虚拟裂缝区，该区域裂纹表面应力不为0，而为裂纹张开位移的单调递减函数。裂缝表面应力随裂纹张开位移递减的关系称为软化律，其断裂区单位面积吸收的能量都等于混凝土的断裂能Gf，即：

(4)

3 受弯构件的受力计算

受弯构件主要承受弯矩作用，是土木工程中最普遍的构件，也是建筑结构中承受荷载和传递荷载的重要部分。由于在梁的设计过程中需要满足承载力极限状态和正常使用极限状态的要求，梁的正截面受弯承载力设计值就必须大于弯矩的设计值，由于混凝土材料的抗拉承载力远远小于抗压承载力，因此在混凝土梁中需要配置一定数量的钢筋使得正截面内配置的受拉钢筋抵消结构产生的弯曲正应力[10]。

3.1 分析1——四点弯曲梁的非线性仿真

借助于有限元工具ABAQUS建立适筋钢筋混凝土梁的四点弯曲有限元模型(图3)。其中：混凝土的弹性模量为29.5 GPa，泊松比为0.2，抗压强度为24 MPa，抗拉强度2.4 MPa，采用弥散塑性损伤模型本构关系。钢材弹性模量为190 GPa，泊松比为0.3，屈服强度为210 MPa。各材料材质均匀，并不含有初始缺陷。所施加荷载由Midas/Building按四点弯曲计算得到，符合混凝土结构设计相关规范要求。其变形后梁体和内部钢筋的应力如图4。

图3 四点弯曲梁Fig.3 Four points bending beam

图4 四点弯曲梁及其应力Fig.4 Stress model of 4-points bending girder

3.2 分析2——四点弯曲梁的开裂模拟

结构尺寸参数及材料参数如前，其中混凝土断裂能为120 N/m,弹性模量折减系数为0.01，损伤稳定性参数为0.000 1。选用最大主应力判断准则，即当单元有任一gauss点的最大主应力超过抗拉强度24 MPa时，单元发生破裂。所施加荷载由Midas/Building按四点弯曲计算得到，符合混凝土结构设计相关规范要求。结构开裂方向与单元平均应力的最大主应力方向垂直且贯穿整个梁底部。计算模型中不考虑结构带有任何的初始裂缝，即裂缝仅是因为受力作用，由材料的强度和断裂准则判断其位置。通过计算可以发现变形后在跨中弯矩最大处随机出现了8条裂缝，如图5。

图5 梁弯曲开裂及其应力Fig.5 Stress model of girder after crack

4 有限元仿真结果与讨论

对比图4、图5可以发现两次仿真过程中，从应力分布的角度来看梁的应力分布形式大致相同，但是由于分析2中的混凝土在受拉区出现了裂缝，使得梁中性轴上移，梁底部的受拉区也随之上移。从梁的应力云图上来看，考虑混凝土开裂后的内部钢筋应力屈服程度比非线性梁要明显，这也符合结构设计中配置钢筋的目的，即在混凝土开裂后由钢筋承受弯矩所产生的弯曲正应力[10]。

4.1 非线性分析结果分析

从非线性分析的结果中选取跨中混凝土和钢筋的拉压节点分别绘制挠度应力曲线(图6)。由图6(a)可得，受拉区混凝土的应力达到抗拉极限后，由于未考虑单元失效的影响使其继续承受拉伸应力作用，在混凝土抗拉本构关系作用下表现为下降段；受压区的混凝土承受压应力作用，表现为上升段直至混凝土压应力达到抗压极限。图6(b)中钢筋受力形态和混凝土相一致，在受拉区混凝土达到抗拉强度后拉力主要由钢筋承担，且伴随着位移增加，拉应力增大直至抗拉强度。受压区钢筋的应力伴随着混凝土压应力同步增长，在混凝土达到抗压强度时钢筋仍未达到屈服极限。

图6 挠度应力曲线Fig.6 Deflection stress curve

4.2 混凝土开裂分析结果

跨中受拉区混凝土的开裂模式如图7，伴随着裂缝的扩展，结构的中性轴逐步上移。

图7 梁的裂缝扩展Fig.7 Extent of crack

由于初始结构中不含预设裂缝，初始裂缝的出现是由混凝土的断裂准则判断的，此时在最大拉应力区初始裂缝的位置是随机的。初始裂缝出现后，伴随着外部荷载的增加，受拉区所承受的弯曲拉应力增大，使得裂缝扩展，从图7中观察可得梁的最大裂缝深度超过梁高的1/2。从图7中观察发现裂缝的扩展是随机的，符合实际中裂缝扩展的情况。但是这种随机的裂缝扩展会导致同一单元中出现多条裂缝的现象发生，此时水平集条件不满足，XFEM退出计算。

提取跨中混凝土和钢筋的挠度应力曲线(图8)。其中由于XFEM参数中只考虑混凝土弹性条件下的最大应力开裂问题，所以混凝土拉压区的应力皆为线性变化。由于混凝土的开裂，中性轴上移，且开裂后的混凝土不能承受弯曲拉应力的作用，因此弯曲拉应力由内部钢筋承担，从图5(b)中可以观察到最终表现为受拉区和受压区钢筋达到拉压极限，对比图4发现，利用XFEM仿真得到的结果接近于真实情况下的适筋梁的配置要求，即在混凝土开裂后受拉区的拉应力主要由钢筋承担，最终得到的拉压区的钢筋应力符合适筋梁配筋的设计要求。

图8 开裂梁挠度应力曲线Fig.8 Deflection stress curve of beam after crack

4.3 结果对比

通过上述分析，发现两种方法对钢筋混凝土适筋梁的计算都是有效的，其结果在某种程度上都是有意义的。但是由于XFEM算法的局限性，混凝土材料只考虑弹性本构，在结果中表现为拉压区的应力皆为线性变化，但是对于考虑混凝土开裂即裂缝扩展趋势的预测是准确和可靠的；在结果中考虑混凝土开裂后，钢筋的应力变化更符合实际情况，并且验证了钢筋混凝土结构设计规范中关于钢筋混凝土配筋的原则要求，即最大程度的发挥钢筋和混凝土两种材料的性能使其同时达到破坏极限。

5 结 论

笔者借助于有限元程序ABAQUS中非线性和XFEM裂缝算法计算了四点弯曲的适筋梁在承受荷载作用下的变化规律，通过对比分析得到如下结论：

1)计算所使用的四点弯曲梁在计算前曾经过Midas/Building校核，符合混凝土结构原理中适筋梁的要求。

2)两种方法都能够计算得到钢筋混凝土梁在承受荷载作用下应力、应变和变形的发展，其变化程度和实际所测相符合。由于XFEM考虑了断裂的影响，其结果更加接近真实值。

3)扩展有限元法能够更好的解决传统有限元方法中对于裂缝模拟的不足，通过仿真结果发现变形后钢筋的应力变化规律，验证了设计规范的要求，即合理的利用材料特性，使受弯梁破坏时钢筋同时达到拉压极限的要求。

4)由于在仿真过程中没有预设裂缝，所有裂缝的出现都是随机，中间考虑到裂缝扩展出现了水平集条件失效的问题未能分析至整梁的开裂。由于裂缝出现的随机性，其结果更加符合实际情况的需要。这也从另外一个方面验证了XFEM算法对于随机开裂问题的有效性，也是首次对不含预设裂缝结构的损伤行为的尝试。

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