教学，以学生“起点”为坐标

刘瑾

“平行四边形的面积”一课在“图形与几何”知识体系中占有重要的地位，是在学生已经掌握并能灵活运用长方形面积计算公式和理解平行四边形特征的基础上进行学习的，能为学生后面学习三角形、梯形、圆等平面图形乃至立体图形的表面积奠定良好的基础。由此可见，本课的教学尤为重要，但是该如何设计本节课的教学，却始终困扰着我。于是我对学生进行了一次课前调查：练习纸上有一个长方形和一个平行四边形，但没有任何数据，让学生自己想办法求出两个图形的面积。设计这一调查的目的是暴露学生最原始的学习起点，有助于设计适合学生的教学。调查结果如下表：

表一：求长方形的面积

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表二：求平行四边形的面积

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经过分析发现，有一大部分学生已经掌握了长方形面积的正确求法，他们会熟练运用公式进行解答；有一小部分学生还不会正确求长方形的面积，他们混淆了长方形周长与面积的知识。有一小半的学生会正确求解平行四边形的面积，其中有的直接用到了平行四边形的面积计算公式，有的用到了割补成长方形后再求长方形面积的方法；有一大半的学生还不会求平行四边形的面积，主要是受到了长方形面积的负迁移影响，胡乱解答。综上分析，说明学生对平行四边形已有一定的认知，所以教学中教师可放开手让学生去探究。于是我根据课前的调查，制定教学目标并进行了教学。

教学片断一：

师（出示长方形与平行四边形）：这两个是什么图形？这两个图形哪个面积大？

生1：是长方形和平行四边形。

生2：我觉得平行四边形的面积大一点。

师：你能确定吗？（学生说不出来）那该怎么办呢？

生3：将这两个图形进行重叠就能比较出来了。（师按照生3的方法将两个图形进行重叠，但由于边缘参差不齐，还是不能确定哪个图形大一些）

师：如果有数据进行计算，是不是就能够比较出来了呢？

生：是的。

师（让学生拿出印有长方形和平行四边形的作业纸）：请你自己想办法求出两个图形的面积，测量时取整厘米数。（学生自己测量所需的数据，并想办法求出图形的面积）

……

分析：因为学生对于平行四边形面积的计算并不是一无所知，所以放开手让学生自己去探究，既能激发学生的学习兴趣，又能培养学生收集和处理数据的能力。在学生找寻自己所需的数据时，边测量边思考，这样就给了他们思考的空间和学习的平台。在作业纸上我设计了一个长方形和一个平行四边形，意在使长方形面积的计算成为学生计算平行四边形面积的基础和模型。在计算平行四边形的面积时，学生可能会想到把平行四边形变成长方形来解决，但是如何改变、怎么改变才能正确求出平行四边形的面积，这是学生探究时的难点。

教学片断二：

师（事先收集学生的一些典型作业）：求长方形的面积时，你测量了哪些数据？

生1：我测量了它的长和宽，分别是6厘米与4厘米，所以它的面积=长×宽=6×4=24（平方厘米）。

师：你们都同意吗？

生：同意。

师：那为求平行四边形的面积，你们测量了什么？

生2：我测量了它的两个底，分别是7厘米和5厘米，所以平行四边形的面积=长底×短底=7×5=35（平方厘米）。

师：你是怎么想到这种办法的？

生2：因为长方形的面积是长×宽，所以我就想到了平行四边形的面积也是两个相邻的边相乘。

师：也就是说，你把平行四边形看成了一个长7厘米、宽5厘米的长方形来求解，是吗？

生2：是的。（师将生2的思考过程通过教具摆出来，如下）

■

师：你是这样想的吗？还有哪些同学也是这样想的？（有大约一半的学生举手）还有不同想法吗？

生3：我测量了它的底是7厘米，高是3厘米，所以它的面积=底×高=7×3=21（平方厘米）。

师：你是怎么想到这种方法的？

生3：因为我发现平行四边形的右边缺了一块，我就把左边多出的一块移到右边，拼成了一个长方形，所以我就用求长方形面积的方法来解决了。（师展示生3的思考过程，如下）

■

师：到底谁求平行四边形面积的方法是对的呢？有没有更直接一点的办法来证明谁是对的？

师：如果我们把平行四边形放到格子图里，你会数吗？（让学生拿出准备好的格子图，独立数出平行四边形中的方格数）你是怎么数的？面积是多少？

生4：我是一格一格数的，有的地方不是一格，就和别的拼成一格，面积是21平方厘米。

师：有没有更好的办法？

生5：我把左边多出的三角形搬到了右边（课件演示，如右图），这样就都变成整格了，一排有7格，有这样的3排，就是21平方厘米。

师：你们看明白了吗？

……

分析：在这个探究过程中，学生两种不同的解题思维都受到了长方形面积求解方法的影响：一是从外在的形上去考虑，所以把平行四边形拉成了长方形；二是从内在的面积去考虑，所以把平行四边形剪拼成了长方形，这也是这节课探究学习的价值所在。到底什么样的方法计算平行四边形的面积才是正确的呢？学生现有的水平还不能够做出正确的判断，于是我就引入最开始学生接触面积时所用的格子图，帮助学生证明哪种求解方法是正确的。这就为接下来的证明提供了事实依据，突破了学生学习的难点。

教学片断三：

师：这样一来，我们就知道了谁的算法是对的。可这种算法为什么是对的，另一种算法为什么不对呢？

师（将原来的平行四边形放在两种思考方法的下面，让学生观察对比）：你有什么发现？

方法1： 方法2：

■

生1：我发现第1种方法在拉动时面积变大了。endprint

师（动态演示拉动的过程）：哪里的面积变大了？为什么面积会变大？（一生上来指出面积变大的部分）

生2：因为在拉的过程中高变长了。（其他学生在他的提示下也发现了这个变化）

生3：我发现第2种方法跟刚才数格子的方法一样，即把左边的三角形移到了右边，这时面积没有发生变化。（其他学生点头表示同意）

师：现在变化之后的长方形与原来的平行四边形之间有什么关系？

生4：现在长方形的长相当于原来平行四边形的底，现在长方形的宽相当于原来平行四边形的高。

师：谁听明白了？再来说一说。（生说略）

师：因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。（师板书：平行四边形面积=底×高）

……

师：那么，刚才的第1种方法使原来平行四边形的面积发生了改变，有不变的地方吗？（学生静下来思考）

生5：周长没有变，还是那样的四条边。

生6：平行四边形四条边的位置发生了移动，但周长没有变。

生7：我发现第2种方法中面积没有变，但周长变短了，原来的斜边被移到里面去了。

……

分析：这个环节的教学是让学生通过自己的思考和观察，发现两种方法中的面积与原来平行四边形面积之间的关系，培养学生观察分析及空间想象的能力。在观察中，学生发现第1种方法的面积变大了，是因为在拉动的过程中高在不断地增大；而第2种方法，一部分面积只是被移到了另一边，并没有改变其大小。正是因为有了前面学生的独立分析和体验，才有了后来清晰的认识。

反思：

本节课既是学习多边形面积的第一课时，也是学好面积与表面积的起始课，所以教师教学中要给学生提供充分想象的机会和搭建学习的平台。本节课是以学生已有的长方形面积的知识为基础，引导学生通过转化的思想进行学习的。因此，教师教学中要把握好学生的学习起点，给予学生充分的肯定与自由探究的空间，并让学生充分经历转化的过程，使学生明白该如何转化求面积是正确的，才能为接下来的学习打好基础。

上完课之后，我认真反思了本节课的教学，觉得要上好这节课还必须抓住以下三个对比。

1.转化思想之间的对比

转化思想是学习多边形面积的基础，不进行转化就不能直接求出平行四边形的面积。如果对于两种转化思想的对比（即拉动成长方形和剪拼成长方形这两者之间的对比）没有做到位，学生就无法弄清到底该如何正确地进行转化并求出面积，也不清楚哪种转化思想是对的，那接下来面对三角形与梯形面积的求解也就无从下手了。

2.变化后面积与原面积的对比

教学中将两种不同方法转化后得到的图形展示出来，并将它们与原来的面积进行比较，学生就会发现两种转化思想的不同之处：一种是改变了原来的面积；另一种却没有改变，只是将一部分面积移到了另一边。正是由于这些对比，才能清楚地帮助学生找到知识的关键所在，突破了本节课的难点，使学生学得轻松、扎实。

3.两种转化思想中周长与面积的对比

学生的这两种转化思想都是在长方形面积这个知识的基础上进行迁移的，都有着智慧的火花。但是这两种转化思想却有着本质的区别，即拉动成长方形使面积发生了变化，但周长始终没有改变；剪拼成长方形时，面积并没有发生改变，但是周长却变短了。这种对比，有助于学生对面积和周长有更深入的体会与认识，帮助学生以后更好地学习面与线之间的关系。

（责编 杜 华）endprint

师（动态演示拉动的过程）：哪里的面积变大了？为什么面积会变大？（一生上来指出面积变大的部分）

生2：因为在拉的过程中高变长了。（其他学生在他的提示下也发现了这个变化）

生3：我发现第2种方法跟刚才数格子的方法一样，即把左边的三角形移到了右边，这时面积没有发生变化。（其他学生点头表示同意）

师：现在变化之后的长方形与原来的平行四边形之间有什么关系？

生4：现在长方形的长相当于原来平行四边形的底，现在长方形的宽相当于原来平行四边形的高。

师：谁听明白了？再来说一说。（生说略）

师：因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。（师板书：平行四边形面积=底×高）

……

师：那么，刚才的第1种方法使原来平行四边形的面积发生了改变，有不变的地方吗？（学生静下来思考）

生5：周长没有变，还是那样的四条边。

生6：平行四边形四条边的位置发生了移动，但周长没有变。

生7：我发现第2种方法中面积没有变，但周长变短了，原来的斜边被移到里面去了。

……

分析：这个环节的教学是让学生通过自己的思考和观察，发现两种方法中的面积与原来平行四边形面积之间的关系，培养学生观察分析及空间想象的能力。在观察中，学生发现第1种方法的面积变大了，是因为在拉动的过程中高在不断地增大；而第2种方法，一部分面积只是被移到了另一边，并没有改变其大小。正是因为有了前面学生的独立分析和体验，才有了后来清晰的认识。

反思：

本节课既是学习多边形面积的第一课时，也是学好面积与表面积的起始课，所以教师教学中要给学生提供充分想象的机会和搭建学习的平台。本节课是以学生已有的长方形面积的知识为基础，引导学生通过转化的思想进行学习的。因此，教师教学中要把握好学生的学习起点，给予学生充分的肯定与自由探究的空间，并让学生充分经历转化的过程，使学生明白该如何转化求面积是正确的，才能为接下来的学习打好基础。

上完课之后，我认真反思了本节课的教学，觉得要上好这节课还必须抓住以下三个对比。

1.转化思想之间的对比

转化思想是学习多边形面积的基础，不进行转化就不能直接求出平行四边形的面积。如果对于两种转化思想的对比（即拉动成长方形和剪拼成长方形这两者之间的对比）没有做到位，学生就无法弄清到底该如何正确地进行转化并求出面积，也不清楚哪种转化思想是对的，那接下来面对三角形与梯形面积的求解也就无从下手了。

2.变化后面积与原面积的对比

教学中将两种不同方法转化后得到的图形展示出来，并将它们与原来的面积进行比较，学生就会发现两种转化思想的不同之处：一种是改变了原来的面积；另一种却没有改变，只是将一部分面积移到了另一边。正是由于这些对比，才能清楚地帮助学生找到知识的关键所在，突破了本节课的难点，使学生学得轻松、扎实。

3.两种转化思想中周长与面积的对比

学生的这两种转化思想都是在长方形面积这个知识的基础上进行迁移的，都有着智慧的火花。但是这两种转化思想却有着本质的区别，即拉动成长方形使面积发生了变化，但周长始终没有改变；剪拼成长方形时，面积并没有发生改变，但是周长却变短了。这种对比，有助于学生对面积和周长有更深入的体会与认识，帮助学生以后更好地学习面与线之间的关系。

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师（动态演示拉动的过程）：哪里的面积变大了？为什么面积会变大？（一生上来指出面积变大的部分）

生2：因为在拉的过程中高变长了。（其他学生在他的提示下也发现了这个变化）

生3：我发现第2种方法跟刚才数格子的方法一样，即把左边的三角形移到了右边，这时面积没有发生变化。（其他学生点头表示同意）

师：现在变化之后的长方形与原来的平行四边形之间有什么关系？

生4：现在长方形的长相当于原来平行四边形的底，现在长方形的宽相当于原来平行四边形的高。

师：谁听明白了？再来说一说。（生说略）

师：因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。（师板书：平行四边形面积=底×高）

……

师：那么，刚才的第1种方法使原来平行四边形的面积发生了改变，有不变的地方吗？（学生静下来思考）

生5：周长没有变，还是那样的四条边。

生6：平行四边形四条边的位置发生了移动，但周长没有变。

生7：我发现第2种方法中面积没有变，但周长变短了，原来的斜边被移到里面去了。

……

分析：这个环节的教学是让学生通过自己的思考和观察，发现两种方法中的面积与原来平行四边形面积之间的关系，培养学生观察分析及空间想象的能力。在观察中，学生发现第1种方法的面积变大了，是因为在拉动的过程中高在不断地增大；而第2种方法，一部分面积只是被移到了另一边，并没有改变其大小。正是因为有了前面学生的独立分析和体验，才有了后来清晰的认识。

反思：

本节课既是学习多边形面积的第一课时，也是学好面积与表面积的起始课，所以教师教学中要给学生提供充分想象的机会和搭建学习的平台。本节课是以学生已有的长方形面积的知识为基础，引导学生通过转化的思想进行学习的。因此，教师教学中要把握好学生的学习起点，给予学生充分的肯定与自由探究的空间，并让学生充分经历转化的过程，使学生明白该如何转化求面积是正确的，才能为接下来的学习打好基础。

上完课之后，我认真反思了本节课的教学，觉得要上好这节课还必须抓住以下三个对比。

1.转化思想之间的对比

转化思想是学习多边形面积的基础，不进行转化就不能直接求出平行四边形的面积。如果对于两种转化思想的对比（即拉动成长方形和剪拼成长方形这两者之间的对比）没有做到位，学生就无法弄清到底该如何正确地进行转化并求出面积，也不清楚哪种转化思想是对的，那接下来面对三角形与梯形面积的求解也就无从下手了。

2.变化后面积与原面积的对比

教学中将两种不同方法转化后得到的图形展示出来，并将它们与原来的面积进行比较，学生就会发现两种转化思想的不同之处：一种是改变了原来的面积；另一种却没有改变，只是将一部分面积移到了另一边。正是由于这些对比，才能清楚地帮助学生找到知识的关键所在，突破了本节课的难点，使学生学得轻松、扎实。

3.两种转化思想中周长与面积的对比

学生的这两种转化思想都是在长方形面积这个知识的基础上进行迁移的，都有着智慧的火花。但是这两种转化思想却有着本质的区别，即拉动成长方形使面积发生了变化，但周长始终没有改变；剪拼成长方形时，面积并没有发生改变，但是周长却变短了。这种对比，有助于学生对面积和周长有更深入的体会与认识，帮助学生以后更好地学习面与线之间的关系。

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