二阶常系数线性微分方程的降阶法

卢亦平，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

二阶常系数线性微分方程的降阶法

卢亦平，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

考虑二阶常系数线性微分方程的降阶法.首先，写出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，求出特征方程的两个特征根；然后，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解.利用降阶法，可以求得微分方程的一个特解或通解.其计算方法简单和方便，在实际中具有应用价值.

二阶常系数线性微分方程；降阶法；特征根；一阶微分形式

1 问题提出

微分方程

式中：f(χ)为已知函数；p，q为已知常数；y=y(χ)为未知函数，称式(1)为二阶常系数线性微分方程.如果f(χ)≠0，称式(1)为二阶非齐次常系数线性微分方程；如果f(χ)=0，称式(1)为二阶齐次常系数线性微分方

程，即

对于二阶非齐次常系数线性微分方程(1)的求解，通常的做法是，讨论非齐次项f(χ)的情形，主要有两种类型：形如与形如或其中为n次多项式.利用待定系数法可求得一个特解[1-5].对于非齐次项f(χ)是一般的情形，用待定系数法显得无能为力.在本文中，对于一般的非齐次项f(χ)，利用降阶法，求出其微分方程的一个特解或通解.其计算方法简单和方便，在实际中很有用.

2 二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法

二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法的具体步骤为：

第1步，写出二阶齐次常系数线性微分方程(2)的特征方程，即λ2+pλ+q=0，求出特征方程的两个特征根λ1和λ2，且λ1+λ2=-p，λ1λ2=q.

第2步，用 1eχλ−(或 2eχλ−)乘以式(1)的两边，得

利用关系式λ1+λ2=-p，λ1λ2=q和导数的运算，将式(3)化为一阶微分形式，即

第3步，对于式(4)的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶线性微分方程，有

当λ1=λ2时，通解为

一个特解公式为

其中

3 举例

利用具体例子说明用降阶法求微分方程解的详细计算过程.

解 第1步，写出特征方程，即λ2+4λ+4=0，其特征根为λ1=λ2=-2.

第2步，用e2χ乘以微分方程的两边，得

上式可化为如下的一阶微分形式

第3步，对于式(7)的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶线性微分方程，有

第4步，求解一阶线性微分方程(8)，通解为

例2 求微分方程 y′+ y = sec χ的通解.

解 第1步，写出特征方程，即λ2+1=0，其特征根为λ1=i，λ2=-i.

第2步，分别用e-iχ与eiχ乘以微分方程的两边，得

上式可化为如下的一阶微分形式

将式(9)与式(10)相加再除以2，得

第3步，对于式(11)的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶线性微分方程，有

第4步，求解一阶线性微分方程(12)，通解为

只要考虑微分方程(13)的一个特解的虚部即可.

第1步，写出特征方程，即λ2-4λ+13=0，其特征根为λ1=2+3i，λ2=2-3i.

上式可化为如下的一阶微分形式

第3步，对于式(14)的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶线性微分方程，一个特解为

第4步，求解一阶线性微分方程(15)，得到一个特解为

取其解的虚部，得到一个特解为

解 第1步，写出特征方程，即λ2-1=0，其特征根为λ1=1，λ2=-1.

第2步，用eχ乘以微分方程的两边，得

上式可化为如下的一阶微分形式

第3步，对于式(16)的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶线性微分方程，有

第4步，求解一阶线性微分方程(17)，通解为

上面4个例子中，例1和例3是常见的非齐次项的微分方程的两种类型，如果利用待定系数法求解，计算量比较大、比较繁琐，例2和例4不是常见的非齐次项的微分方程的类型，利用待定系数法无法求解，利用降阶法计算比较简单和方便.特别地对于不是常见的非齐次项的微分方程的类型，即一般的非齐次项的常系数线性微分方程，利用降阶法都能得到求解，同时给出了一般的非齐次项的常系数线性微分方程求特解的一个公式，即公式(6)，因此降阶法在实际中很有用.

[1]钱椿林. 高等数学[M]. 北京：电子工业出版社，2010.

[2]同济大学应用数学系. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2004.

[3]E 卡姆克. 常微分方程手册[M]. 北京：科学出版社，1980.

[4]《现代应用数学手册》编委会. 现代应用分析卷[M]. 北京：清华大学出版社，1998.

[5]《数学手册》编写组. 数学手册[M]. 北京：高等教育出版社，1984.

(责任编辑：沈凤英)

Depression of Order for Two Order Linear Differential Equation with Constant Coeffcients

LU Yi-ping， QIAN Chun-lin
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

Depression of order for two order linear differential equation with constant coeffcients is considered. First of all，the characteristic equation of linear differential equation with constant coeffcients is written，and two characteristic roots are obtained，and then the differential equation is multiplied by the integral factor and operatied with derivative，the two order linear differential equation with constant coefficients is changed into the first-order differential form，and finally the first-order differential form is integrated.The two order linear differential equation becomes the linear differential equation of frst order，solving frst-order linear differential equations，and special or general solution of the differential equations can be obtained.The method is simple，convenient and very useful in practice.

two order linear differential equation with constant coefficients；depression of order；characteristic root；frst-order differential form

O175.1

A

1008-5475(2014)03-0049-04

2014-05-28；

2014-06-25

苏州市职业大学青年基金资助项目(2010SZDQ12)

卢亦平(1978-)，女，吉林白山人，讲师，硕士，主要从事算子特征值估计研究.