子群的几乎M－可补性与p－幂零性

王克科，汤菊萍

（扬州大学数学科学学院，江苏 扬州225002）

本文涉及的群皆为有限群，所用术语和符号都是标准的［1－2］．

子群的局部化性质对有限群构造有重要影响，国内外许多学者对此进行了深入探究．例如，1980年，Srinivasan［3］证明了有限群G 的Sylow 子群的极大子群在G 中正规，G 为超可解群；2005年，何鸣等［4］利用群G 的Sylowp－子群的极大和极小子群的π－可补性，给出了群G 为p－幂零群的一些条件；2008年，郭文彬［5］提出了F－可补子群的概念，得到有限群结构的新刻画；2011年，汤菊萍等［6］分析了Sylow 子群P 的极大子群在NG（P）中的p－幂零补性对有限群构造的影响；最近，缪龙等提出了几乎－可补子群的概念，对有限群特别是包含超可解群的饱和群系的结构进行了研究（Guo Jidong，Zhang Jia，Miao Long．On nearly－supplemented subgroups of finite groups．Ukrainian Mathematical Journal待发表）．在本文中，笔者将继续以上工作，利用某些准素子群在其Sylow 正规化子中的几乎－可补性对有限群的p－幂零性和超可解性作进一步考察．

1 预备知识

引理1设G 是有限群，P 是G 的Sylow p－子群，（｜G｜，p－1）＝1．G 是p－幂零的当且仅当P的任意极大子群在G 中或者有p－幂零补或者有几乎－补．

引理2设F是包含所有超可解群的饱和群系，E 是G 的可解正规子群且使得G／E∈F．如果对于E 的每一个非循环Sylow 子群的任一极大子群在G 中或者有超可解补或者有几乎－补，那么G∈F．

引理3［7］设G 是有限群．

3）设π是一个素数集，K 是G 的正规π′－子群，且H 是G 的π－子群，若H 在G 中几乎－可补，则HK／K 在G／K 中几乎－可补；

4）设R 是G 的可解极小正规子群，若存在R 的一个极大子群R1，使得R1在G 中几乎－可补，则R 是素数阶的．

引理4设G 是有限群且NG，P 是G 的一个Sylowp－子群，若P 的任意极大子群在NG（P）中几乎－可补，且（p，｜N｜）＝1，则PN／N 的每一个极大子群在NG／N（PN／N）中几乎－可补；进一步地，若N≤P，则P／N 的每一个极大子群在NG／N（P／N）中几乎－可补．

证明 易证PN／N 为G／N 的Sylow p－子群．对于PN／N 的任一极大子群T／N，有｜（PN／N）∶（T／N）｜＝p；由于T＝T∩PN＝N（T∩P）＝NP1，故P1为P 的极大子群；由引理4假设P1在NG（P）中几乎－可补，则存在KNG（P）使得P1KNG（P）且SK＜P1K，其中S 为P1的任意极大子群；易 知 存 在 正 规 子 群KN／NNG（P）N／N ＝NG／N（PN／N），使 得（P1N／N）（KN／N）NG（P）N／N ＝NG／N（PN／N）；又｜（P1KN／N）∶（SKN／N）｜＝｜（P1KN）∶（SKN）｜＝所以SKN／N＜P1KN／N，从而P1N／N 在NG（P）N／N 中几乎－补．

引理5［8］设子群H 在G 中s－拟正规．

1）若K 是G 的一个子群，且H≤K，则H 在K 中s－拟正规；

2）若N 是G 的一个正规子群，则HN／N 在G／N 中s－拟正规．

引理6［9］设P 是群G 的s－拟正规p－子群，其中p∈π（G），则Op（G）≤NG（P）．

引理7［10］设G 是可解群且Φ（G）＝1，则F（G）是G 中极小正规子群的直积．

2 主要结果

定理1设G 是有限群，p 是｜G｜的素因子且（｜G｜，p－1）＝1．如果存在G 的一个Sylowp－子群P，使得P 的任意极大子群在NG（P）中几乎－可补，并且P′在G 中s－拟正规，其中P′是P 的换位子群，那么G 是p－幂零的．

证明 现对｜G｜作归纳假设．

首先，如果Op′（G）≠1，考虑商群G／Op′（G）．显然POp′（G）／Op′（G）是G／Op′（G）的Sylow p－子群，由引理4可知G／Op′（G）的极大子群P1Op′（G）／Op′（G）在NG／Op′（G）（POp′（G）／Op′（G））中几乎－可补；又由（POp′（G）／Op′（G））′＝P′Op′（G）／Op′（G）及引理5之2）可知（POp′（G）／Op′（G））′在G／Op′（G）中s－拟正规；由归纳假设得G／Op′（G）是p－幂零的，进而得到G 是p－幂零的．

其次，如果Op′（G）＝1．

情形1：Op（G）＝1．对任意的Q∈Sylq（NG（P）），其中q≠p，有PQ≤NG（P）．如果PQ＝G，那么NG（P）＝G．由引理1得知G 是p－幂零的；如果PQ≠G，那么NG（P）＜G；又因P≤NG（P）＜G 且NNG（P）（P）＝NG（P）∩NG（P）≤NG（P），故由引理3之1）及引理5之1）可知P 的任意极大子群在NNG（P）（P）中几乎－可补，并且P′在NG（P）中s－拟正规，从而由归纳假设知NG（P）是p－幂零的，进而PQ 也是p－幂零的；又由于PNG（P），故PQ＝P×Q，即Q≤CG（P）．此时，若P′＝1，则可由Burnside定理知G 是p－幂零的；若P′≠1，则由P′在G 中s－拟正规及引理6知Op（G）≤NG（P′），再由P≤NG（P′）可知G＝POp（G）≤NG（P′），进而得到P′G 且P′≤Op（G），即Op（G）≠1，矛盾．

情形2：Op（G）≠1．设N 是G 的任一极小正规子群，由上述可知N≤Op（G），根据引理4，P／N的极大子群P1／N 在NG／N（P／N）中几乎－可补，又由引理5之2）知（P／N）′＝P′N／N 在G／N 中s－拟正规，从而G／N 满足定理假设，进而由归纳假设可知G／N 是p－幂零的．此时，若N 不唯一，则由p－幂零群类的饱和性得G 是p－幂零的；若N 唯一，即N 是G 的唯一极小正规子群，且Φ（G）≠1，那么G 是p－幂零的；如果Φ（G）＝1，则由上述及引理7知Op（G）＝F（G）＝N；因为1≠P′≤Op（G），故由Op（G）的极小正规性可得P′＝Op（G），进而由上述及Op（G）G 知Op（G）＝P′≤Φ（P），最后根据引理2可知Op（G）≤Φ（G）＝1，矛盾．

定理2设G 是有限群，p 是｜G｜的素因子且（｜G｜，p－1）＝1，HG 且G／H 是p－幂零的．如果存在H 的一个Sylowp－子群P，使得P 的每个极大子群在NG（P）中几乎－可补，并且P′在G 中s－拟正规，其中P′是P 的换位子群，那么G 是p－幂零的．

证明 现对｜G｜作归纳假设．根据引理3之1）以及假设可知P 的每一个极大子群在NH（P）中几乎－可补，并且由引理5知P′在H 中s－拟正规，进而由定理1知H 是p－幂零的．设T 为H 的正规p－补，即H＝Hp［T］，由Tchar HG 知TG．

如果T≠1，考虑商群H／T．易证G／T 的正规子群H／T 满足定理假设，又因为（G／T）／（H／T）≅G／H，所以由归纳假设得知G／T 是p－幂零的，从而G 是p－幂零的．

如果T＝1，那么H＝Hp＝P 是G 的p－子群．若（G／P）p＝1，则PG，从而NG（P）＝G．由引理1可知G 是p－幂零的．若（G／P）p≠1，因为G／P 是p－幂零的，所以G／P 有正规p－补，不妨设为R／P，即G／P＝（G／P）p［R／P］．由NR（P）＝NG（P）∩R≤NG（P）及引理3之1）知，P 的每一个极大子群在NR（P）中几乎－可补，又由引理5之1）知P′在R 中s－拟正规，因此由定理1知R 是p－幂零的．设S 为R 的一个正规p－补，显然S 也为G 的正规p－补，从而G 是p－幂零的．

定理3设G 是有限群，对于｜G｜的任意素因子p，如果存在G 的一个Sylow p－子群P，使得P的每个极大子群在NG（P）中几乎－可补，并且P′在G 中s－拟正规，其中P′是P 的换位子群，那么G是超可解的．

证明 假设G 是极小阶反例．由定理1可知G 具有超可解型的Sylow 塔，从而G 是可解的．假设N 是G 的极小正规子群，则由引理3之2）和引理5之2）知G／N 满足定理假设．又因（PN／N）′＝P′N／N 在G／N 中s－拟正规，故由G 的极小性知G／N 是超可解的．由于超可解群类是饱和群系，故N 是G 的唯一极小正规子群且Φ（G）＝1．设q 为｜G｜的最大素因子且Q 为G 的Sylowq－子群，即QG，易知N≤Q．因为Φ（G）＝1，所以Q 是G 的包含于Q 的极小正规子群的直积，即N＝Q．由引理3之4）知｜N｜＝q，从而G 是超可解的，矛盾．综上可得G 是超可解的．

定理4设G 是有限群，F是包含所有超可解群的饱和群系，EG 且G／E∈F．如果对｜G｜的任意素因子p 都有E 的每一个Sylowp－子群P，使得P 的每一个极大子群在NG（P）中几乎－可补，并且P′在G 中s－拟正规，其中P′是P 的换位子群，那么G∈F．

证明 现对｜G｜作归纳假设．显然E 满足定理3的假设，所以E 是超可解的．设p 是｜E｜的最大素因子，P 是E 的Sylow p－子群，那么PE，从而PG．此时考虑商群G／P，因为（G／P）／（E／P）≅G／E，所以（G／P）／（E／P）∈F，从而G／P 满足定理的假设，故由归纳假设知G／P∈F．由于P 的每个极大子群在NG（P）＝G 中几乎－可补，因此由引理2可知G∈F．

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