对含有向量因子的曲线方程之三类问题的探讨

汪家军

(襄阳职业技术学院汽车工程学院，湖北襄阳441050)

求曲线方程在高考和数学竞赛中是公认的压轴题。命题专家们常常将向量因子寓于高考题的求曲线方程中作局部条件，借其宽阔的知识网点，灵活的构造方法和广泛的应用范围，来考查学生的空间想象能力、数学运算能力、动态思维能力和创新能力;或将其与其它形式的数学问题交融起来，检验学生分析解决问题的能力［1］;本文对含有向量因子的曲线方程之三类问题进行了探索，以期合理分类、探求共性、寻求规律，以求抛砖来引玉。

1 点积类问题

问题解析:对于点积类问题，可以以坐标系为依托让已知条件中的向量获得解放，再用其属性把向量表示翻译成几何性条件借以激活已知条件中的向量因子，紧扣方程思想和向量的数积运算规律及几何特性，就可依势而为。

(1)若一条双曲线的中心为O，其一个焦点为F，该双曲线的一侧经过点Q，(如图1所示)，且试求当取得最小值时此双曲线方程。

(2)设P、T为动点，分别在如上(1)求出双曲线的两条渐近线上运动，又设F1为这组双曲线的左焦点，当5|PT|=2|F1F|时，请求出线段PT的中点M的运动轨迹的方程，并说明该轨迹是何种曲线。

图1

解:(1)此时问题的条件含向量的点积与向量的模，依据激活向量因子的方法可以先设所求的双曲线方程为，再设点 Q 为(x1，y1).

(2)此时问题(1)已经解决了曲线方程问题，只要在此基础上再活化其特别条件下即可。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1的方程为，l2的方程为

由此可知，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆。……