D -度量空间上一族拟收缩自映射的唯一公共不动点

沈京虎, 朴勇杰

( 延边大学理学院 数学系, 吉林 延吉 133002 )

1992年,B.Dhage[1]引进了具有新的结构的广义度量空间——D-度量空间,并在该空间上得到收缩型映射的不动点定理.之后,很多研究者给出了关于一个映射的不动点定理和若干个映射的公共不动点定理[2-6].特别是,Gajic[7]在D-度量空间上给出了一族收缩型映射的唯一公共不动点存在定理,这为进一步研究D-度量空间上的无穷多个映射的公共不动点的存在问题提供了一种方法和思路.本文将试图得到D-度量空间上满足某种拟收缩条件的一族映射的唯一公共不动点存在定理,并证明唯一公共不动点正是由给定映射族构造的序列的唯一极限.同时,根据新得到的定理,拟得出更一般形式的唯一公共不动点存在定理.

首先,给出D-度量空间上的一些基本概念和D-柯西原理.

定义1[7]设X是非空集合,R+是非负实数集合.称(X,D) (其中D:X×X×X→R+)是D-度量空间,如果以下条件被满足:

(i)D(x,y,z)=0 ⟺x=y=z(重叠性)；

(ii)D(x,y,z)=D(p(x,y,z)) (对称性),其中p表示{x,y,z}的置换函数；

(iii) 对任何x,y,z,a∈X,D(x,y,z)≤D(x,y,a)+D(x,a,z)+D(a,y,z) (四面体不等式).

定义2[7]D-度量空间的一个序列{xn}n∈N被称为D-收敛，并收敛于x∈X是指limm,n→+∞D(xm,xn,x)=0.序列{xn}n∈N被称为D-柯西序列是指limm,n,p→+∞D(xm,xn,xp)=0.完备的D-度量空间(X,D)是指X中每个D-柯西序列都D-收敛于X中的点.称一个子集S⊂X是有界的是指存在一个常数M>0满足D(x,y,z)

文献[2,7]中已指出，在D-度量空间中,如果D关于两个变元是连续的,则当一个序列的极限存在时，其极限必是唯一的.本文假设D-度量关于两个变元是连续的.

引理1[7-8](D-原理)设{xn}n∈N是D-度量空间X中具有D-有界数M的有界序列.如果对任何n,m∈N且m>n, 成立D(xn,xn+1,xm)≤αn·M, 其中0≤α<1, 则{xn}n∈N是D-柯西序列.

下面给出本文的主要结果.

定理1设(X,D)是完备的D-度量空间且X具有D-有界数M, {fn}n∈N是X的一族满自映射使得对任何x,y,z∈X及任何(i,j,k)∈N3Δ, 其中Δ={(n,n,n)|n∈N}, 成立如下拟收缩型不等式:

D(x,y,z)≤qD(fi(x),fj(y),fk(z)),

(1)

其中0≤q<1.{fn}n∈N有唯一公共不动点,如果下列条件之一成立:

(I)对任何x,y,z∈X及i,j∈N且i≠j,D(x,y,z)≤qD(fi(x),fj(y),z);

(II)对任何x,y,z∈X及i∈N,D(x,y,z)≤qD(fi(x),y,z);

(III)对任何i∈N及任何x∈X, 存在j∈N满足(fj∘fi)(x)=x.

证明任意选取x0∈X.由于每个fn(∀n∈N)都是满射,因此可构造一个序列{xn}n∈N满足xn-1=fn(xn),n=1,2,….如果M=0, 则D(x0,x1,fm(x0))=0,∀m∈N, 因此必有x0=fm(x0), 这说明x0是{fn}n∈N的一个公共不动点.于是,以下可假设M>0.

首先,证明{xn}n∈N是D-柯西序列.事实上,对任何n,p∈N, 根据条件(1)可得

D(xn,xn+1,xn+p)≤qD(fn(xn),fn+1(xn+1),fn+p(xn+p))=

qD(xn-1,xn,xn+p-1)≤q2D(fn-1(xn-1),fn(xn),fn+p-1(xn+p-1))=

q2D(xn-2,xn-1,xn+p-2)≤…≤qnD(x0,x1,xp)≤qn·M.

因此{xn}n∈N和M满足引理的所有条件,于是{xn}n∈N是D-柯西序列.由于X是完备的且D关于两个变元是连续的,因此存在唯一元素z∈X满足limn→+∞xn=z.

其次,证明当条件(I)—(III)之一成立时，z是{fn}n∈N的一个公共不动点.

情况1 对任何固定的k∈N及任何m∈N且满足m>k+1, 根据(1)式得

D(xm+1,xm,fk(z))≤qD(fm+1(xm+1),fm(xm),fk(z))=qD(xm,xm-1,fk(z)).

令m→+∞, 则由D的连续性,上式变成D(z,z,fk(z))≤qD(z,z,fk(z)).因此由0≤q<1推出D(z,z,fk(z))=0, 于是z=fk(z).由k的任意性可知z是{fn}n∈N的一个公共不动点.

情况2 对任何固定的k∈N及任何m∈N且m>k+1, 根据(1)式得

D(xm+1,fk(z),fk(z))≤qD(fm+1(xm+1),fk(z),fk(z))=qD(xm,fk(z),fk(z)).

令m→+∞, 则由D关于两变元的连续性,上式变成D(z,fk(z),fk(z))≤qD(z,fk(z),fk(z)).因此由0≤q<1推出D(z,fk(z),fk(z))=0, 于是z=fk(z).由k的任意性可知z是{fn}n∈N的一个公共不动点.

情况3 对任何固定的k∈N及极限z, 存在k′∈N满足fk′∘fk(z)=z.因此对任何m∈N且m>max{k,k′}, 根据(1)式得

D(xm+1,z,fk(z))≤qD(fm+1(xm+1),fk(z),fk′∘fk(z))=qD(xm,fk(z),z).

令m→+∞, 则根据D关于两变元的连续性,上式变成D(z,z,fk(z))≤qD(z,fk(z),z).因此由0≤q<1推出D(z,z,fk(z))=0, 于是z=fk(z).由k的任意性可知z是{fn}n∈N的一个公共不动点.

最后,证明z是{fn}n∈N的唯一公共不动点.事实上,如果y∈X也是{fn}n∈N的公共不动点,则根据(1)式得

D(z,z,y)≤qD(f1(z),f2(z),f3(y))=qD(z,z,y).

因此由0≤q<1可推出D(z,z,y)=0, 于是z=y.这说明z就是{fn}n∈N的唯一公共不动点.

根据定理1,本文将给出更一般形式的唯一公共不动点定理.

定理2设(X,D)是完备的有界D-度量空间, {Ti,j}i,j∈N是X的满自映射族, {mi,j}i,j∈N是正整数族, {qj}j∈N是非负实数族且满足qj<1,∀j∈N.如果对任何x,y,z∈X及任何(i1,i2,i3)∈N3Δ, 其中Δ={(n,n,n)|n∈N}, 成立如下拟收缩条件

(2)

和如下所谓的局部交换性

Ti1,j1Ti2,j2=Ti2,j2Ti1,j1,∀i1,i2,j1,j2∈N,j1≠j2.

(3)

如果下列条件之一成立:

①对任何x,y,z∈X及任何i1,i2∈N且i1≠i2及任何j∈N, 成立

首先,证明对任何固定的j∈N,xj是{Ti,j}i∈N的公共不动点.事实上,对任何固定的i∈N, 可选取i1,i2∈N满足i≠i1,i≠i2.根据(2)式,可得

qjD(Si1,j(xj),Si2,j(xj),Ti,j(Si,j(xj)))=qjD(xj,xj,Ti,j(xj)).

因此由0≤qj<1可得到D(xj,xj,Ti,j(xj))=0，于是xj=Ti,j(xj),∀i∈N. 这说明xj是{Ti,j}i∈N的一个公共不动点.

假如yj也是{Ti,j}i∈N的公共不动点,则yj当然也是{Si,j}i∈N的公共不动点.于是根据(2)式,对任何i1,i2,i3∈N且i1≠i2≠i3, 有

D(xj,xj,yj)≤qjD(Si1,j(xj),Si2,j(xj),Si3,j(yj))=qjD(xj,xj,yj).

由此得到D(xj,xj,yj)=0, 于是xj=yj.这说明对任何固定的j∈N, {Ti,j}i∈N的公共不动点是唯一的,即只有xj.

其次，证明对任何μ,υ∈N,xμ=xυ.事实上,对任何i1,i2,μ,υ∈N且υ≠μ, 因为Ti1,μ(xμ)=xμ且Ti2,υ(xυ)=xυ, 因此Ti1,μ(Ti2,υ(xυ))=Ti1,μ(xυ).由(3)式得Ti2,υ(Ti1,μ(xυ))=Ti1,μ(xυ).这说明Ti1,μ(xυ)是{Ti2,υ}i2∈N的公共不动点,∀i1∈N.由于{Ti2,υ}i2∈N的公共不动点只有一个xυ, 因此Ti1,μ(xυ)=xυ,∀i1∈N.这表明xυ是{Ti1,μ}i1∈N的公共不动点,因此根据{Ti1,μ}i1∈N的公共不动点的唯一性得到xυ=xμ.令x*=xj, 则x*就是{Ti,j}i,j∈N的唯一公共不动点.另外,从证明过程可看出x*也是序列族{{xi,j}i∈N}j∈N的唯一公共极限.

参考文献：

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