一类单部件可修复系统的稳定性及可靠性分析

刘东旭， 司文艺， 袁玉娇

( 1.延边大学理学院 数学系； 2.延边教育出版社 网络出版中心： 吉林 延吉 133000 )

1 模型描述

单部件可修复系统由一个部件构成，当部件工作时系统工作，当部件故障时系统故障.当修复率为函数时，利用文献[5]中的补充变量法，单部件可修复系统的模型可用如下方程组描述：

(1)

(2)

2 系统解的稳定性

定理1系统(2)存在唯一的非负解P(t)， 且P(t)=T(t)P(0).

下面证明系统的解具有指数稳定性.

定理20是算子A+B的简单本征值.

证明考虑方程(γI-A-B)P=0， 即

(3)

(4)

(5)

定理3{γ∈C|Reγ>0或γ=ia,a∈R,a≠0}⊂ρ(A+B).

证明对∀γ∈C， Reγ>0或γ=ia,a∈R,a≠0有:

(6)

1)γ∈C, Reγ+c>0时，γ∈σ(A+B) ⟺D(γ)=0.

2)设γ0=0, 对任意的γk∈{γ∈C|Reγ>-c,D(γ)=0}，γk≠γ0.其中γk按照实部递减排序Reγk+1≤Reγk，k=1,2,3,…,N, 则γ0=0是A+B的严格占优本征值.

2)易知D(γ)在Reγ>-c上是解析函数，至多有有限个零点，且在有限区域内没有聚点.由上面的讨论知：算子A+B的谱在左半平面，虚轴上的点除零点外都在预解集中.因0是A+B的具有正本征向量的简单本征值，再由严格占优本征值的定义知0是严格占优本征值.

设γ0=0， 对任意的γk∈{γ∈C|Reγ>-c,D(γ)=0}，γk≠γ0.其中γk按照实部递减排序Reγk+1≤Reγk，k=1,2,…,N, 则γ0=0是A+B的严格占优本征值.

‖T(t)P(0)-〈P(0),Q〉P*‖≤Me(Reγ1+δ)t,t>0.

上述结果表明，在一定条件下系统的动态解是以指数形式收敛于系统的稳态解.

3 系统的可靠性分析

定理6当0

对p0(t)求导得

参考文献：

[1] Wang Wendai, Keceioglu Dimitri B. Confidence limits on the inherent availability of equipment[C]//2000 Proceedings Annual Reliability and Mainability Symposium, 2000:162-168.

[2] Ananda M M A, Gamage J. On steady state availability of system with lognormal repair time[J]. Applied Mathematics and Computation, 2004,150:409-416.

[3] Ananda M M A. Confidence intervals for steady state availability of a system with exponential operating time and lognormal repair time[J]. Applied Mathematics and Computation, 2003,137:499-509.

[4] Chandrasekar P, Natarajan R. Confidence limit for steady state availability of systems with lognormal operating time and inverse Gaussian repair time[J]. Microelectron Reliab, 1997,37(6):969-971.

[5] 曹晋华，程侃.可靠性数学引论[M].北京：高等教育出版社，2006.

[6] Pazy A. Semigroups of linear operators and application to partial differential equations[M]. New York： Springer, 1983:13-22.

[7] Liu Dongxu, Jin Aidong, Zhang Yufeng. Exponential stability of a four-state system[J]. Journal of Information and Decision Science, 2009,4(1):75-82.

[8] 许跟起.强连续半群本质谱半径的扰动定理[J].数学学报,1990,33(6):757-763.

[9] 许跟起.强连续(C0)半群扰动本质谱半径的估计[J].数学学报,1993,36(3):335-340.