基本上成立的概念及其应用

林谦， 杨祺

(1.云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650092;2.云南农业大学 附属中学，云南 昆明 650000)

在实函中很多地方都涉及“基本上成立”的概念，如{xn}在(0,1)内处处收敛却不一致收敛，若从(0,1)内去掉一个长度为δ(0<δ<1)的小区间(1-δ,1)后，{xn}便在余下的点集(0,1-δ]上具有一致收敛性．一般地，当{fn(x)}在集合E(E⊂Rn)上不一致收敛时，仍有可能从E中去掉一个“很小”的e，使得{fn(x)}在余下的E-e上一致收敛[1]，但这样描述显得模糊、冗长且不够精确．因此，本文将用类似数学分析中极限的ε-δ定义给出“基本上成立”概念的精确定义，并探讨其性质．有了“基本上成立”的概念，便可简化许多定理及其证明的过程，同时使许多概念之间的关系显得更加简洁明了和协调．

1 基本概念

1.1 基本上成立的概念

定义1 设P(x)是一个与可测集E中的点x有关的命题，且∀δ>0，存在可测集Eδ⊂E，使得m(E-Eδ)<δ且命题P(x)在Eδ上成立，则称命题P(x)在可测集E上基本上成立，并将其记为P(x)n.*.成立于E，即P(x)n.*.成立于E∀δ>0，∃可测集Eδ⊂E，使得m(E-Eδ)<δ且P(x)在Eδ上成立，如易知函数列{xn}在E=(0,1)内基本上一致收敛于0．

1.2 函数列的几种收敛性概念

下面有关函数列收敛的各种详细概念见参考文献[2]，这里仅给出简述形式．

1.3 函数项级数的几种收敛性概念

1.4 函数的几种连续性概念

(1)处处连续

定义3[3]若∀x0∈A(A⊂E)，f(x)关于点集E在点x0处连续，即∀x0∈A有

则称函数f(x)关于点集E在点集A上处处连续(简称f(x)关于E在A上连续)，或称函数f(x)关于点集E是点集A上的连续函数．

若记CE(A)={f(x)|f(x)关于E在A上连续}，则定义3可简述为：

f∈CE(A) ⟺ ∀

⟺ ∀x0∈A，f(x)关于E在点x0处连续．

下面有关函数连续的各种详细概念见参考文献[3]，这里仅给出简述形式．

1.5 函数的几种可导性概念

(1) 处处可导

定义4[4]若函数f(x)关于区域D(⊂Rn)在点集A(⊂D)上每一点处都可导(n>1时可导指对每个自变量的偏导数都存在)，则称f(x)关于区域D在点集A上处处可导(简称f(x)关于D在A上可导)，或称f(x)关于D是A上的可导函数．

若记DD(A)={f(x)│f(x)关于D在A上可导，则定义4可简述为：

f∈DD(D-E0)⟺ ∀x∈A，f(x)关于D在点x处可导．

(2) 几乎处处可导

⟺ ∃可测集E0⊂D，使得mE0=0且f(x)关于D在D-E0上可导．

(3) 基本上可导

⟺∀δ>0，∃开集Dδ⊂D，使得mDδ<δ且f(x)关于D-Dδ在D-Dδ上可导．

2 基本上一致收敛与其他收敛的关系

2.1 基本上一致收敛与一致收敛和几乎处处一致收敛的关系

例1说明：对在E上基本上一致收敛的函数列{fn(x)}，即使mE<+，也不能保证函数列{fn(x)}在E上几乎处处一致收敛、一致收敛和处处收敛．

2.2 基本上一致收敛与基本上收敛的关系

推论2[2……