数学建模课内容和教学方法的探讨

华 颖

(景德镇学院数学与信息工程系，江西景德镇 333000)

0 前言

数学与计算机技术相结合，已产生出一种重要的、可实现的技术，成为当代高新技术的重要组成部分。计算机技术可以用来解决数学建模过程中的数值计算以及建模过程中所涉及到的对数据的处理和分析，我们常用的数学软件如MATLAB、LINGO、SPSS等，它们具有强大的绘图、数值计算及多样化的工具箱功能，能够快捷、有效地计算数学建模课程教学过程中所涉及到的数学模型的求解问题。

我们希望使用先进的数学软件来完善数学建模课程的实践教学，使学生在学习过程中不仅能学到数学知识，也能学习到相关的计算机软件知识，使得学生能够真正认识到数学的实用性，培养学生分析和解决实际问题的能力，也培养学生使用计算机和数学软件的能力。总之，我们希望以数学建模课程的教学改革为目标，利用数学软件完善数学建模课程的实践教学为切入点，将数学建模的思想融入到数学专业的其他主干课程中去，在我校以培养应用型人才为目标的教学模式和思路上起到探索作用。

1 开设“数学建模与实验”课程的具体做法与实践

我们将数学建模课程的主要教学内容分成两大块，第一块教学内容是数学建模和第二块教学内容是数学实验，数学实验课程安排六个实验。根据学生的具体情况制作相应的课件和软件包，这部分重点介绍使用相关数学软件对模型的求解，用讲座的形式边讲边演示。数学建模采用建模方法加案例的方式进行介绍，其中包括六大模块，针对每个模块我们制作相应的课件，在教学过程中应注重与学生的互动，要使学生通过案例的学习能够对相应的建模方法举一反三，在以后遇到相似的问题会自已解决。下面我们具体介绍一下这两个模块的内容。

1.1 数学建模教学结构

我们将数学建模课程按数学知识内容分为六大模块，每个模块选取四到六个案例，通过案例介绍，使学生学会怎样建立模型，感受到数学的广泛用途。课程内容分六个部分介绍:⑴初等模型和简单优化模型;⑵线性规划、整数规划、非线性规划和动态规划;⑶微分方程和差分方程;⑷数理统计模型 ;⑸数据处理(回归、方差、插值和拟合);⑹离散模型。

第一部分初等模型和简单优化模型。从最简单的初等数学模型开始，让学生了解应用初等数学方法来解决实际生活中的问题，具体介绍光盘的数据容量、双层玻璃的功效、划船比赛的成绩等模型，使学生对数学建模过程有一个感性的认识。在介绍模型的同时，使用Matlab软件对课程中所建立的数学模型进行求解，使学生认识到数学软件对求解数学模型的重要作用。

第二部分线性规划、整数规划、非线性规划和动态规划模型。通过介绍奶制品的生产与销售、自来水输送与货机装运、汽车生产与原油采购等实际问题，让学生学会确定优化的目标和寻求的决策。规划模型对决策变量的取值范围有限制，通过加入限制条件可以得到相应的优化模型，实际中的优化问题通常有多个决策变量，对变量的选取和目标函数的建立是这部分内容的关键，在教学中需重点介绍。至于数学规划模型的求解，可以通常使用Matlab软件包和Lingo软件包。

第三部分是微分方程和差分方程。我们先介绍传染病模型、经济增长模型、正规站与游击战模型等，它们是对实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律、预测未来性态、研究它的控制手段时，通常要建立微分模型。然后进一步介绍微分方程的稳定性理论，对建立的微分方程作出稳定性分析，这样可使学生对微分方程模型有一个全面的了解。对差分方程模型的介绍先介绍投入产出模型、原子弹爆炸的能量估计与量纲分析模型和市场经济中的蛛网模型;然后进一步介绍差分方程的稳定性分析理论。对微分和差分方程模型的求解我们主要是使用Matlab软件包，当难以求得微分方程的解析解时，可以求其数值解。

第四部分数理统计模型。如果建模时所研究的对象受到随机因素的影响，在建模时就应该建立随机性的数学建模，本部分内容我们通过讨论传送系统的效率、报童的诀窍、轧钢中的浪费和航空公司的订票策略等问题，讨论如何用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型及概率模型。其中要用到的概率运算，以及概率分布、期望、方差等计算问题我们会在相应的数学实验课上介绍使用Matla软件中的相关语句进行求解。

第五部分数据处理(回归、方差、插值和拟合)模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型。我们就可以使用用途非常广泛的一类随机模型统计回归模型，我们使用SPSS软件进行对统计回归模型的数据进行处理和分析。

第六部分离散模型。一般地说确定性离散模型包括的范围很广，在此主要介绍在实际中应用较广的几个离散模型，如层次分析模型和冲量过程模型是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。循环比赛的名次和公正的选举讨论了排序问题，席位分配是社会政治领域中一个令人关注的问题，对于离散模型的求解问题我们使用Matlab软件进行处理。

1.2 数学建模课的实验

数学建模课程涉及到大量的模型求解问题，而数学实验课程就是使用数学软件对数学问题进行求解的一门课程，因此为了完善数学建模课程我们将这两门互补的课程结合在一起。数学实验是以计算机为工具，配以各种数学计算软件(Matlab，Mathematics，Maple，Spss等)作为实验环境，用以加工处理各种数学资料信息，得到计算结论过程。因此在教学过程中需要把课堂教学与实际操作结合起来，给学生实践机会，提高学生的动手能力和进行数值计算与数据处理的能力，并且在解决数学模型问题的过程中提升学生对学习数学的兴趣。对于模块二数学实验的教学我们将数学建模实验课的内容分成六个专题，做成六个多媒体课件。课件的主要内容是介绍数学建模课程中所学案例的求解方法，主要的教学方法是将多媒体与软件包的计算结合起来，由教师介绍求解过程然后要求学生动手练习使用相关软件包。多媒体课件的主要制件思路为:以Powerpoint和Matlab、Spss、Lingo软件为平台，根据数学建模课本上的案例建立模型，分析同一类模型之间的联系，然后对所建立的模型利用相关的数学软件进行求解，我们把求解的相关数学软件和算法事先编好在软件的工作区中，使用Powerpoint做超级联接，在Matlab工作区调用保存在写字板上的Matlab程序的方件名，即得到运算结果。

1.3 数学建模课程的考核

学期结束时，我们给出一个具体的建模题目，要求学生在给定的时间里完成模型的建立和使用数学软件对模型进行求解，并按数学建模比赛的格式交一份建模论文和相关的附件，老师对论文进行评阅给出每个学生数学建模课程的考试成绩。考核的重点在建模过程中所作的假设是否合理，所建立的模型是否正确，以及求解过程是否正确使用相关的数学软件。我们也希望学生自已动手完成一篇建模论文，以提高论文写作能力和运用数学知识解决实际问题的能力。

2 需要进一步解决的问题

在教学实践过程中我们发现学生对数学建模与数学实验课程是具有兴趣的，因为在学习的过程中他们能够运用所学的数学知识解决实际问题，也为他们在以后的工作和学习中更好地使用数学工具解决问题打下基础。但由于我们学校在这方面的起步比较晚，所以在实践教学和数学建模比赛的指导过程中遇到了一些问题，主要有以下几点:

⑴数学建模与数学实验课的结合及相应的教学内容、教学模式还需要我们在实践的过程中进一步完善。

⑵应该分配相应的课时让学生自已上机操作，加强学生对相关数学软件的使用能力。

⑶学生的计算机能力应进一步提高，等等。

⑷各个模块案例的选取还需进一步地讨论，应注重实用性和灵活性。

⑸任课教师和指导教师的知识结构还有待改善和调整。

在今后的教学工作中我们会针对以上的几个问题作重点的讨论和完善，希望能不断地提高我们学院数学建模教学及比赛的水平，把这项有益于学生素质培养的活动开展得更好。

［1］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型［M］.高等教育出版社，2011.

［2］但琦，赵静，付诗禄.数学建模课内容和教学方法的探讨［J］.工科教学，2002.

［3］李尚志等.数学实验(第二版)［M］.北京.高等教育出版社，2003.