一般多位数整数乘法心算分析

张志权 郭 阳

(兰州商学院国际贸易学院，甘肃兰州 730020)

心算包括乘除运算、乘方运算、开方运算等多种形式，在多数人看来，其中多位数乘法运算最基础最没规律性最难掌握。在《最强大脑》中外终极PK赛上，外国选手3×3运算用时1分18秒88，中国选手4×4运算用时4分24秒27，相比各自的乘方开方运算用时多得多，这就是最好的例证［1］。其实不然，笔者不知道他们心算各自用的是什么方法，但节目中的两位选手显然用时是有点多了。在这里笔者来分析一下自己对一般多位数整数心算的方法，相信学习该方法后，一般人都能成为优秀的心算者。

1 两位数乘以两位数

分析多位数(三位数以上)乘法心算，得先学会两位数乘法心算。设任意两个两位数=10a+b=10c+d.

由上式可以看出，一般两位数整数相乘可以转化为三项乘积的和形式，其中第一项末尾两个零，第二项末尾一个零，第三项末尾没有零，这就是规律之所在。我们在计算的时候，可以先不考虑各项末尾零的情况，改用数位对齐来替代末尾零。

⑵式说明，两个两位数的首项乘以首项(如a×c)，尾项乘以尾项(如b×d)，两次结果从左至右依次排列，如果尾项乘以尾项是一位数，则前面添零后再排列。然后两内项乘积加上两外项乘积(如bc+ad，即x)，将x的个位与前者十位对齐，再相加，得出结果即是最终结果［2］。

之所以能这么处理，是因为我们知道首项与首项相乘的积后面有两个零，写数时我们为了计算方便将其省略;尾项乘以尾项的积能在后面直接排列是因为任何两个一位数相乘只有两种可能，结果为一位数或两位数，所以，积是两位数时直接依次排列，积是一位数时中间添零;两内项之积和两外项之积后面都有一个零，为了计算方便我们省略其后面的零，直接将其与前次计算结果的十位数对齐。

对于两位数乘以两位数心算时，如果是笔试出题，计算过程中要记住两个数(首项积与尾项积排列后的结果、两内项积与两外项积的和)，在实际操作中是不难记忆的;但如果是口试出题即原题不在题板上显示，要求记住原题中的两个两位数，这就要求记住四个数，二者比较，在记忆难度上实际上增加了很多，所以后者更容易出错。笔者建议，对待后一种情形，我们可以换一种方法应对。

我们称这种方法为凑整法，即在两个两位数中，选择一个更容易凑成整十或整百的数凑整，这样很巧妙地把两位数乘以两位数转化为了两位数乘以一位数，计算量大大降低。

这种方法，其理论依据是乘法的分配律，计算过程中只需记住两个数即凑整后与另一个数的乘积、凑整后的余数与另一个数的乘积。

例如:79×87=(80－1)×87=80×87－87=6873

在这个例子中，心算时只需记住80×87的结果和87，这个对一般人来说都不难记忆。

2 三位数乘以三位数

分析完两位数乘以两位数再分析三位数乘以三位数就简单很多。

由⑷式可以看出，三位数乘以三位数可以转化为五项乘积的和形式，其中第一项末尾四个零，第二项末尾三个零，第三项末尾两个零，第四项末尾一个零，第五项末尾没有零，同理，可用数位对齐来替代末尾的零。

⑸式说明，首项乘以首项(如a×d)，尾项乘以尾项(如c×f)，两次结果中间添加两个零后从左至右依次排列，如尾项乘得结果是一位数，则中间添加三个零。然后把三个零的项与其千位对齐，两个零的项与其百位对齐，一个零的项与其十位对齐，最后相加，得出最终结果。至于为什么能这么做，其原理跟两位数乘以两位数是一致的。

在此计算过程中，至少要记住四个数，短时间记住四个数并进行运算对一般人来说是不容易的。如果两个乘数位数再增加，可能要记住更多的数才能进行心算。所以，对于三位数乘以三位数笔者不赞成简单套用两位数乘以两位数的方法，可以运用另外一种方法。

笔者称其为划分模块法即可以把三位数划分成两个模块，再对模块进行运算，模块划分的标准就是使运算最简单，这样划分后，运算就快很多。

这样就把三位数乘以三位数转化为两位数乘以两位数形式，简单模块划分，给计算带来的简便性却是可观的。

在这种方法中只需记住两个数(即⑹或⑺式中两个数)就能进行心算，一般人学会方法再加适度训练，就能很快对三位数乘以三位数进行心算。

3 四位数乘以四位数

四位数乘以四位数，如果用两位数乘以两位数的方法一，在计算过程中要记住六个数，一般人更无法企及，除非你有非凡的记忆力，所以这种方法显然在四位数乘以四位数里不能得到推广，其过程可参考两位数乘以两位数或者三位数乘以三位数的方法一。

四位数乘以四位数最简单易掌握的方法也属划分模块法。

四位数乘以四位数通过模块划分最终还是转化为两位数乘以两位数形式。

四位数乘以四位数，虽然只需记住两个数，但随着位数增多，每个数也在增大，所以数位增多带来的数值变大的困难只能通过训练来克服，没有更好的方法。至于五位数乘以五位数乃至更高位数，划分模块无疑是一个不错的方法，但乘数位数增多，模块划分的方法运用也越来越复杂，所以更高位数的心算方法就留给其他学者去探究。

心算本来就没那么神奇，了解一点心算方法，懂得天才是方法加勤奋，而并非天赋异禀。

［1］江苏卫视.最强大脑—终极之战［EB/OL］.http://v.pptv.com/show/UILoZ881peNGxAg.html.

［2］杨烨.神奇速算法［M］.太原:山西科学技术出版社，1992.