近世代数教学改革的初步探索与体会

俞小祥

(江苏师范大学 数学与统计学院， 江苏 徐州 221116)

近世代数教学改革的初步探索与体会

俞小祥

(江苏师范大学 数学与统计学院， 江苏 徐州 221116)

近世代数是师范院校数学专业的学位必修课,其目的是培养和锻炼学生的概括、综合及抽象思维能力。因其具有高度抽象的特点，学生在学习过程中会产生茫然、枯涩、困难等感觉，从而影响学生的学习积极性。本文结合教学实际，对该课程的教学改进与教学方法论进行了初步探讨。

近世代数； 抽象； 教学

0 引言

近世代数是现代数学的基础之一，是很多前沿数学分支的理论基础和基本语言，其重要性是不言而喻的。但在我国的本科生教学计划中，其所占课时很少，通常只有3-4学时。如何在如此少的教学时间内让学生对该课程所研究的内容，以及与其他数学分支学科的联系有较好的理解是一项具有挑战性的工作。

笔者长期担任本科生与研究生的近世代数主讲教师，结合学生的实际情况，对该课程的教学作了适当的调整与改进，使学生对知识的概括、抽象能力有较大的提高。同时为有志于数学相关领域研究的学生打下一个较好的基础。

1 教学改进实践

1.1 详尽而细致的举例

一般近世代数的教科书都是从定义出发，或简单举例，便开始讲述引理、定理、推论等。但非重点院校的学生通常数学基础较差，没有非常强的抽象思维能力，对定义的来源及所要揭示的本质问题并很难有一个好的理解，常规的讲授容易让学生有一种方法“云里雾里”的感觉。所以较好的方法是先举一些简单的例子，然后从这些例子中抽取共性的东西，再给出定义。如讲授群的概念，可先用有理数、实数等学生熟悉的例子，再举线性空间的可逆变换群和有限集合的变换群等例子。让学生体会从特殊到一般，再进行抽象这样一个过程。在举例的过程中，在学生已知的知识范围内，尽可能的详细，是他们对各种特殊和一般情况有一个通盘的了解，这样他们便知道概念的来源及所要学习的目的。

1.2 重视与其他数学分支学科的联系

数学的各个分支学科从来都不是孤立的，它们是相互联系、相互依存的，只不过各自的研究侧重点不同。近世代数侧重于研究对象的结构，它的很多概念、定义来源于数学中的其它分支学科，反过来它又为其它分支学科的研究提供数学语言和工具。对初学者而言，应特别强调的是近世代数与初等数论之间的联系。所以在讲解近世代数的重要概念之前，用少量时间(如一堂课时间)简单介绍数论的知识是非常必要的。代数中的很多概念如素理想、极大理想、有限域等都直接来源于数论；有限循环群在同构意义下一般用剩余类加以刻画；在讲解有限群的阶或元素的阶时也要用到初等数论的知识。特别在讲解群论时，用群论知识证明费尔马小定理和威尔逊定理更能增加学生对群的整体性与对称性的理解。

本科生近世代数课程通常在二年级开设，该年级的学生还没有接触到很多其它分支学科的数学知识，那么，多采用高等代数中的例子有助于他们对新知识点的理解；同时可对他们学过的知识进行复习、巩固；并且可以帮助他们在更高的层面上理解高等代数，有利于他们对已有的知识进行概括、总结。

1.3 简单介绍与其他学科的联系

学生对某课程学习的兴趣很大一部分来自该课程的应用前景。对初学者而言，近世代数在其它学科中的应用会使他们对课程更感兴趣。但这样的介绍尽量做到简单扼要、生动有趣。毕竟我们没有大量的课时去覆盖这些内容，而且我们也不一定是这方面的专家。所以，作者通常会选择在上课之前或在课间，用闲聊的方式向学生简单介绍群与结构化学、群与量子力学、有限域与密码学、信息科学等学科的联系。讲解的方式尽量采用讲故事的放松形式，不影响学生的课间休息，也不要求学生必须认真听讲。

2 教学方法论的探讨

2.1 生动而有趣的例子

数学是一门严谨的科学，在讲解时，每一步必须做到完美无缺、毫无纰漏。数学课堂教学中教师容易把握讲课的内容与节奏，但很难把讲授的内容以较生动的形式呈现给学生，那些对数学没有特殊爱好的学生总会觉得数学枯燥乏味、兴趣索然。

为了使课堂教学生动活泼，笔者尝试着在讲解时，可以举一些相关的较为生动有趣的例子。如在讲授置换群的时候，给学生们出下面这道题(电影《极限空间》片段)：

有三个箱子，两个箱子分别装着薄荷糖和巧克力糖，另一个箱子中既有薄荷糖，也有巧克力糖。每个箱子外面都贴了标签，分别写着薄荷糖、巧克力糖、薄荷糖和巧克力糖，但所有的标签都贴错了。问至少需要尝几颗糖，才能确定每个箱子里装的究竟是什么糖。

通常情况下，总有学生在五分钟内把这个题做出来。然后我会以严格的数学化的形式讲解内在原因，即没有固定元的三个元素的集合到自身的变换一定是一个循环，而三阶循环只有两个！当然这样的例子还有不少，限于篇幅，不一一列举。关键是学生们觉得这样的学习方法比较有趣，而且令他们印象深刻。

2.2 由简单到复杂、特殊到一般的方法论

近世代数与其他课程相比，有较多的概念、定义，单纯讲清楚这些概念之间的联系并不能完全帮助学生对课程的内容有一个整体性的清晰的把握，更谈不上使他们对所学的内容融汇贯通。事实上，一本好的教材，其内容的展开完全符合人类认识事物的方法论基础，即从简单到复杂、特殊到一般。国内其实不缺这方面好的教材，如文献[1,2]。为了保证教材内容的紧凑，作者一般不会在每一处加以强调，但在授课时，老师应该对学生加以正确的引导，否则会使有些学生采取死记硬背的方式学习。如：从整数到有理数再到代数数，从循环群到交换群再到可解群，其实就是从简单到复杂、特殊到一般的认识过程。学习群与子群、环与子环的关系，其实就包含研究整体与局部的认识方法论；(小阶)群的分类其实就蕴含通过局部认识整体的哲学思想等等。这样讲解会帮助学生对教材有一个完整的了解，使他们觉得所有定义的引入都是自然的，其相关引理、定理的表述和证明是顺理成章的，同时也可以帮助他们纠正对不同的概念理解上的错误，不会使他们产生“只知其然，不知其所以然”的迷茫感。

总之，近世代数课程教学有其特殊性与普遍性。以上所述只是笔者在课程教学过程中所作的粗浅的探索与尝试，远远谈不上是一种成功的教学改革。事实上，很多专家与学者在该课程的教学改革中，做了很多成功的探索，并将他们的成果发表在各种不同的刊物[3,4]。“他山之石，可以试玉，”笔者在教学过程中经常借鉴他们的经验，感受获益匪浅，所以也愿意将自己的体会与同行分享。

[1] 冯克勤，李尚志，张璞.近世代数引论[M].3版.合肥：中国科学技术大学出版社，2009.

[2] 朱平天，李伯葓，邹园.近世代数[M].2版.北京：科学出版社，2008.

[3] 郭华光，徐祥，裴定一.近世代数课程教学内容的改革与实践[J].广州大学学报：自然科学版，2003，12(1)：587-590.

[4] 袁玉卓，王骁力.关于近世代数课程教学的一些建议[J].南阳师范学院学报：2012,9(4)：90-92.

[责任编辑：蒋海龙]

2014-05-18

俞小祥(1969-)，男，浙江嵊州人，副教授，博士，主要从事代数数论等研究。E-mail：carston123@126.com

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